Ecuación del plano perpendicular a una recta

**a) $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{4}$. (1 punto)** Para que un plano $\pi$ sea perpendicular a una recta $r$, el vector normal del plano, $\vec{n}_{\pi}$, debe ser paralelo (o igual) al vector director de la recta, $\vec{v}_r$. En este apartado, la recta viene dada en forma continua: $$r \equiv \frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$$ Identificamos directamente el vector director de los denominadores: $$\vec{v}_r = (2, 3, 4)$$ Por tanto, tomamos como vector normal del plano: $$\vec{n}_{\pi} = (2, 3, 4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector que marca la dirección de la recta es el mismo que marca la orientación (normal) del plano.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}_{\pi}$. En nuestro caso: $$2x + 3y + 4z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por el punto $P(1, 2, 3)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$2(1) + 3(2) + 4(3) + D = 0$$ $$2 + 6 + 12 + D = 0 \implies 20 + D = 0 \implies D = -20$$ La ecuación del plano es $2x + 3y + 4z - 20 = 0$. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{2x + 3y + 4z - 20 = 0}$$

**b) $r \equiv \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ x - 2y + 3 = 0 \end{cases}$. (1,5 puntos)** En este caso, la recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. El vector director de la recta se obtiene mediante el **producto vectorial** de los vectores normales de dichos planos, $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (1, -2, 0)$. Calculamos el determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollando por la tercera columna (que tiene ceros): $$\vec{v}_r = 0\vec{i} - 0\vec{j} + [1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1]\vec{k} = -3\vec{k}$$ El vector director es $\vec{v}_r = (0, 0, -3)$. Para simplificar los cálculos, podemos usar cualquier vector proporcional, como: $$\vec{n}_{\pi} = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con vectores directores o normales, puedes multiplicar o dividir por una constante para simplificar los números, ya que solo nos interesa la dirección.

Con el vector normal $\vec{n}_{\pi} = (0, 0, 1)$ y el punto $P(1, 2, 3)$, planteamos la ecuación del plano: $$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0$$ $$z - 3 = 0$$ Este resultado representa un plano horizontal (paralelo al plano $XY$) que corta al eje $Z$ en la altura 3. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{z - 3 = 0}$$