Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discutirlo en función del parámetro $m$. (1,5 puntos)** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m^2 - 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m^2 - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m^2 - 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 2\cdot 1) + (1\cdot 3\cdot 2) + (1\cdot 5 \cdot (m^2-1)) - [2\cdot 2\cdot (m^2-1) + 1\cdot 1\cdot 1 + 5\cdot 3\cdot 1]$$ $$|A| = 2 + 6 + 5m^2 - 5 - (4m^2 - 4 + 1 + 15)$$ $$|A| = 5m^2 + 3 - (4m^2 + 12) = 5m^2 + 3 - 4m^2 - 12 = m^2 - 9$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única o no según el Teorema de Rouché-Capelli.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que cambian el rango de $A$: $$|A| = 0 \implies m^2 - 9 = 0 \implies m^2 = 9 \implies m = \pm 3$$ Esto nos divide el estudio en dos casos principales: 1. Si $m \neq 3$ y $m \neq -3$ 2. Si $m = 3$ o $m = -3$

Si **$m \neq 3$** y **$m \neq -3$**, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que el rango máximo es 3) - $n = 3$ (número de incógnitas) Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al coincidir los rangos con el número de incógnitas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq \pm 3, \text{ el sistema es Compatible Determinado (Solución única)}}$$

Si $m = 3$ o $m = -3$, el valor de $m^2-1$ es siempre $3^2-1 = 8$ o $(-3)^2-1 = 8$. Por tanto, el sistema es el mismo para ambos valores. La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ calculando un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{vmatrix}$$ Observamos que la columna 1 y la columna 3 son idénticas, por lo que el determinante es **0**. Cualquier otro menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes también será 0 (puedes comprobarlo por Sarrus). Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n=3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 3 \text{ o } m = -3, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)}}$$

**b) Resolverlo para $m = 3$. (1 punto)** Como hemos visto, para $m=3$ el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema original se reduce a usar las dos ecuaciones que formaban el menor de orden 2 no nulo: $$\begin{cases} x + y + 8z = 1 \\ x + 2y + 3z = 1 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} x + y = 1 - 8\lambda \\ x + 2y = 1 - 3\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x + y) = (1 - 3\lambda) - (1 - 8\lambda)$$ $$y = 5\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + 5\lambda = 1 - 8\lambda \implies x = 1 - 13\lambda$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar la solución sustituyendo en la tercera ecuación original: $2(1-13\lambda) + 5(5\lambda) + \lambda = 2 - 26\lambda + 25\lambda + \lambda = 2$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - 13\lambda \\ y = 5\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$