Distribución Normal: Tiempo de avería en impresoras

**a) ¿Qué porcentaje de impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que describe el experimento: $X =$ "tiempo que transcurre hasta la primera avería (en horas)". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal con media $\mu = 1500$ y desviación típica $\sigma = 200$: $$X \sim N(1500, 200)$$ Para poder calcular probabilidades utilizando las tablas estándar, debemos realizar la tipificación de la variable transformándola en una $Z \sim N(0, 1)$. 💡 **Tip:** La fórmula para tipificar es $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Queremos hallar el porcentaje de impresoras que fallan antes de 1000 horas, es decir, $P(X \lt 1000)$. Tipificamos el valor $x = 1000$: $$Z = \frac{1000 - 1500}{200} = \frac{-500}{200} = -2,5$$ Ahora calculamos la probabilidad en la normal estándar $N(0, 1)$: $$P(X \lt 1000) = P(Z \lt -2,5)$$ Como la distribución normal es simétrica y las tablas suelen dar valores para $Z$ positivos y menores o iguales, aplicamos las propiedades de simetría: $$P(Z \lt -2,5) = P(Z \gt 2,5) = 1 - P(Z \le 2,5)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $2,5$ en la columna $0,00$, obtenemos $0,9938$: $$1 - 0,9938 = 0,0062$$ Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,0062 \cdot 100 = 0,62\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,62\%}$$

**b) Si compramos 500 impresoras ¿Cuántas de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? (1 punto)** Primero, calculamos la probabilidad de que una impresora falle en el intervalo $(1000, 2000)$, es decir, $P(1000 \lt X \lt 2000)$. Tipificamos ambos valores: - Para $x_1 = 1000$, ya sabemos que $z_1 = -2,5$. - Para $x_2 = 2000$: $$Z = \frac{2000 - 1500}{200} = \frac{500}{200} = 2,5$$ La probabilidad solicitada es: $$P(-2,5 \lt Z \lt 2,5) = P(Z \lt 2,5) - P(Z \lt -2,5)$$ Utilizando los valores calculados anteriormente: - $P(Z \lt 2,5) = 0,9938$ - $P(Z \lt -2,5) = 0,0062$ Sustituimos: $$P(-2,5 \lt Z \lt 2,5) = 0,9938 - 0,0062 = 0,9876$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la probabilidad de un intervalo se calcula restando la función de distribución en el límite superior menos el límite inferior: $P(a \lt Z \lt b) = P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$.

Una vez que tenemos la probabilidad de que una impresora individual falle en ese rango ($p = 0,9876$), calculamos cuántas de las $N = 500$ compradas cumplirán esa condición. El número esperado de impresoras es $n = N \cdot p$: $$n = 500 \cdot 0,9876 = 493,8$$ Dado que nos preguntan por el número de impresoras, solemos dar un número entero aproximado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{493,8 \approx 494 \text{ impresoras}}$$