Probabilidad y Estadística 2022 Castilla y Leon
Probabilidad total y Teorema de Bayes en control de calidad
E9.- (Probabilidad y Estadística)
Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10% de calidad Alta; un 70% de calidad Estándar y un 20% de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1%; el 10% y el 30% del total de las herramientas respectivamente.
a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa. (1 punto)
b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y datos del problema
**a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa. (1 punto)**
En primer lugar, definimos los sucesos relativos a la calidad de la herramienta:
- $A$: La herramienta es de calidad **Alta**.
- $E$: La herramienta es de calidad **Estándar**.
- $B$: La herramienta es de calidad **Baja**.
Y el suceso relativo al estado de la herramienta:
- $D$: La herramienta es **defectuosa**.
- $\bar{D}$: La herramienta **no es defectuosa** (correcta).
Los datos de probabilidad a priori según el enunciado son:
- $P(A) = 10\% = 0,10$
- $P(E) = 70\% = 0,70$
- $P(B) = 20\% = 0,20$
Las probabilidades condicionadas (probabilidad de ser defectuosa según la calidad) son:
- $P(D|A) = 1\% = 0,01$
- $P(D|E) = 10\% = 0,10$
- $P(D|B) = 30\% = 0,30$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que forman la partición (Alta, Estándar, Baja) debe ser $1$ ($0,1+0,7+0,2=1$).
Paso 2
Representación mediante diagrama de árbol
Para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos, construimos un diagrama de árbol:
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de que sea defectuosa
Para calcular $P(D)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(E) \cdot P(D|E) + P(B) \cdot P(D|B)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = 0,10 \cdot 0,01 + 0,70 \cdot 0,10 + 0,20 \cdot 0,30$$
Realizamos los productos:
$$P(D) = 0,001 + 0,07 + 0,06$$
Sumamos los resultados:
$$P(D) = 0,131$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se aplica cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes entre sí.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,131}$$
Paso 4
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Estándar si es defectuosa)
**b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. (1 punto)**
Se nos pide calcular la probabilidad de que la herramienta sea de calidad estándar sabiendo que es defectuosa, es decir, $P(E|D)$.
Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|D) = \frac{P(E \cap D)}{P(D)} = \frac{P(E) \cdot P(D|E)}{P(D)}$$
Ya conocemos todos los valores:
- $P(E) \cdot P(D|E) = 0,70 \cdot 0,10 = 0,07$ (numerador)
- $P(D) = 0,131$ (denominador calculado en el apartado anterior)
Sustituimos:
$$P(E|D) = \frac{0,07}{0,131}$$
Calculamos el valor decimal (aproximando a cuatro decimales):
$$P(E|D) \approx 0,53435...$$
En forma de fracción exacta:
$$P(E|D) = \frac{70}{131}$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite actualizar las probabilidades de las causas (calidades) una vez que conocemos el efecto (es defectuosa).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|D) = \frac{70}{131} \approx 0,5344}$$