Cálculo de área mediante integrales y resolución de límites

**a) Halle el área del recinto del plano limitado por la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. (1 punto)** Para calcular el área, primero debemos comprobar si la función $f(x) = x^3 - 4x$ corta al eje $OX$ (donde $y=0$) en algún punto dentro del intervalo de integración $[0, 2]$. Resolvemos la ecuación $f(x) = 0$: $$x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0$$ Esto nos da tres soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x^2 = 4 \implies x = 2$ y $x = -2$ En el intervalo $(0, 2)$ no hay más puntos de corte, por lo que la función mantiene el mismo signo en todo el recinto. Evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x=1$: $$f(1) = 1^3 - 4(1) = -3 < 0$$ Como la función es negativa en este intervalo, el área vendrá dada por el valor absoluto de la integral definida o cambiando el signo de la misma. 💡 **Tip:** Si una función es negativa en un intervalo $[a, b]$, el área es $A = -\int_{a}^{b} f(x) dx$ o simplemente $|\int_{a}^{b} f(x) dx|$.

Planteamos la integral definida para hallar el área: $$A = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right|$$ Calculamos la primitiva de la función: $$\int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^2}{2} = \frac{x^4}{4} - 2x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $2$: $$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: $$\left( \frac{2^4}{4} - 2(2^2) \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 2(0^2) \right) = \left( \frac{16}{4} - 8 \right) - 0 = 4 - 8 = -4$$ El área es el valor absoluto del resultado obtenido: $$Area = |-4| = 4 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{4 \text{ unidades cuadradas}}$$

**b) Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{x \text{ sen } x}{2 - 2 \cos x}$ (1 punto)** Primero evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para ver si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{0 \cdot \text{ sen } 0}{2 - 2 \cos 0} = \frac{0 \cdot 0}{2 - 2 \cdot 1} = \frac{0}{0}$$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que el límite de las derivadas exista.

Derivamos el numerador $u(x) = x \text{ sen } x$ usando la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$: $$u'(x) = 1 \cdot \text{ sen } x + x \cos x = \text{ sen } x + x \cos x$$ Derivamos el denominador $v(x) = 2 - 2 \cos x$: $$v'(x) = 0 - 2(-\text{ sen } x) = 2 \text{ sen } x$$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{ sen } x + x \cos x}{2 \text{ sen } x}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{\text{ sen } 0 + 0 \cdot \cos 0}{2 \text{ sen } 0} = \frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital por segunda vez**.

Derivamos el nuevo numerador $u'(x) = \text{ sen } x + x \cos x$: $$u''(x) = \cos x + (1 \cdot \cos x + x(-\text{ sen } x)) = \cos x + \cos x - x \text{ sen } x = 2 \cos x - x \text{ sen } x$$ Derivamos el nuevo denominador $v'(x) = 2 \text{ sen } x$: $$v''(x) = 2 \cos x$$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x - x \text{ sen } x}{2 \cos x}$$ Ahora evaluamos sustituyendo $x=0$: $$\frac{2 \cos 0 - 0 \cdot \text{ sen } 0}{2 \cos 0} = \frac{2(1) - 0}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$$ ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{1}$$