Área entre una raíz y una parábola

**a) Dibuje las curvas y señale el recinto plano comprendido entre ambas. (1 punto)** Para poder dibujar el recinto y calcular el área, primero debemos encontrar los puntos donde las dos curvas se intersectan. Igualamos ambas funciones: $$\sqrt{3x} = \frac{1}{3}x^2$$ Para resolver esta ecuación, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(\sqrt{3x})^2 = \left(\frac{1}{3}x^2\right)^2 \implies 3x = \frac{1}{9}x^4$$ Multiplicamos por 9 para eliminar el denominador: $$27x = x^4 \implies x^4 - 27x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(x^3 - 27) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $x^3 - 27 = 0 \implies x^3 = 27 \implies x = \sqrt[3]{27} = 3$ Los puntos de corte son **$(0, 0)$** y **$(3, 3)$** (ya que si $x=3$, $y = \sqrt{3 \cdot 3} = 3$). 💡 **Tip:** Siempre que eleves al cuadrado en una ecuación, conviene comprobar las soluciones al final para descartar posibles soluciones

Con los puntos de corte obtenidos y sabiendo que $y = \sqrt{3x}$ es una rama de parábola horizontal (definida para $x \ge 0$) y $y = \frac{1}{3}x^2$ es una parábola vertical convexa, podemos representar el recinto: - En el intervalo $(0, 3)$, tomamos un valor de prueba, por ejemplo $x=1$: - $y_1 = \sqrt{3 \cdot 1} \approx 1.73$ - $y_2 = \frac{1}{3}(1)^2 = 0.33$ Como $1.73 \gt 0.33$, la curva $y = \sqrt{3x}$ está por encima de $y = \frac{1}{3}x^2$ en el recinto.

**b) Calcule el área de dicho recinto. (1 punto)** El área $A$ del recinto limitado por dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ entre dos puntos $a$ y $b$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$$ En nuestro caso, $f(x) = \sqrt{3x}$ (la curva superior) y $g(x) = \frac{1}{3}x^2$ (la curva inferior), desde $x=0$ hasta $x=3$: $$A = \int_{0}^{3} \left( \sqrt{3x} - \frac{1}{3}x^2 \right) \, dx$$ Podemos separar la integral para facilitar el cálculo: $$A = \int_{0}^{3} \sqrt{3} \cdot x^{1/2} \, dx - \int_{0}^{3} \frac{1}{3}x^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$. Expresar las raíces como potencias fraccionarias simplifica mucho el proceso de integración.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int \left( \sqrt{3} \cdot x^{1/2} - \frac{1}{3}x^2 \right) \, dx = \sqrt{3} \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{3} \frac{x^3}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{9}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $3$: $$A = \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{9} \right]_{0}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=3$): $$F(3) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 3 \sqrt{3} - \frac{3^3}{9} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - \frac{27}{9} = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 0 \sqrt{0} - \frac{0^3}{9} = 0$$ Por tanto, el área es: $$A = F(3) - F(0) = 3 - 0 = 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 3 \text{ u}^2}$$