Cálculo de un límite por L'Hôpital e integración por partes

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$ (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{e^0 - 0 - 1}{0^2} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar de forma independiente el numerador y el denominador. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se puede aplicar cuando tenemos límites que resultan en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, siempre que las funciones sean derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador $(e^x - x - 1)' = e^x - 1$ y el denominador $(x^2)' = 2x$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$$ Volvemos a evaluar el límite sustituyendo $x = 0$: $$\frac{e^0 - 1}{2(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Como la indeterminación persiste, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2}$$ Ahora evaluamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}}$$

**b) $\int_{0}^{1} xe^x dx$ (1 punto)** Para calcular esta integral definida, primero hallaremos la integral indefinida (primitiva) utilizando el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos los componentes para la integración por partes: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^x dx \implies v = \int e^x dx = e^x$ Aplicamos la fórmula: $$\int xe^x dx = x e^x - \int e^x dx$$ $$\int xe^x dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$ Ya tenemos la función primitiva $F(x) = (x - 1)e^x$.

Ahora aplicamos la **regla de Barrow** para evaluar la integral entre los límites $0$ y $1$: $$\int_{0}^{1} xe^x dx = \left[ (x - 1)e^x \right]_0^1$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: - Para $x = 1$: $(1 - 1)e^1 = 0 \cdot e = 0$ - Para $x = 0$: $(0 - 1)e^0 = (-1) \cdot 1 = -1$ Calculamos la diferencia: $$\int_{0}^{1} xe^x dx = 0 - (-1) = 1$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\int_{0}^{1} xe^x dx = 1}$$