Estudio completo y representación de la función f(x) = xe^x

Para empezar el estudio de la función $f(x) = xe^x$, debemos determinar su dominio. La función $f(x)$ es el producto de dos funciones: 1. Una función polinómica $g(x) = x$, cuyo dominio es $\mathbb{R}$. 2. Una función exponencial $h(x) = e^x$, cuyo dominio es $\mathbb{R}$. Al ser el producto de dos funciones continuas y definidas en toda la recta real, el dominio de $f(x)$ es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas, exponenciales, senos y cosenos tienen como dominio todos los números reales. El dominio solo se ve restringido habitualmente por denominadores que se anulan, raíces de índice par de números negativos o logaritmos de números no positivos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, +\infty)}$$

**Asíntotas Verticales (A.V.):** Como el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua en todo su dominio, **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos los límites en el infinito: 1. Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x e^x = (+\infty) \cdot e^{+\infty} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. 2. Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x e^x = (-\infty) \cdot e^{-\infty} = (-\infty) \cdot 0$$ Es una indeterminación del tipo $\infty \cdot 0$. Reescribimos la función para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{+\infty} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-(+\infty)} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$ cuando $x \to -\infty$**. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Por la izquierda no hay (hay horizontal). Por la derecha: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{xe^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$ Al ser el límite infinito, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: No hay; A.H.: } y=0 \text{ (si } x \to -\infty); \text{ A.O.: No hay}}$$

Calculamos la primera derivada usando la regla del producto: $$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$(1+x)e^x = 0 \implies 1+x = 0 \implies x = -1$$ (Ya que $e^x \gt 0$ para cualquier $x$). Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(-1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0 \implies$ **Creciente**. El extremo relativo se encuentra en $x = -1$. Calculamos su ordenada: $$f(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decrece: } (-\infty, -1); \text{ Crece: } (-1, +\infty); \text{ Mínimo relativo: } (-1, -1/e)}$$

Calculamos la segunda derivada derivando $f'(x) = (1+x)e^x$: $$f''(x) = 1 \cdot e^x + (1+x)e^x = (1+1+x)e^x = (2+x)e^x$$ Buscamos los posibles puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$(2+x)e^x = 0 \implies 2+x = 0 \implies x = -2$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, $f''(x) \lt 0 \implies$ **Cóncava (hacia abajo)**. - En $(-2, +\infty)$, $f''(x) \gt 0 \implies$ **Convexa (hacia arriba)**. El punto de inflexión está en $x = -2$. Calculamos su ordenada: $$f(-2) = (-2)e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -0.271$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cóncava: } (-\infty, -2); \text{ Convexa: } (-2, +\infty); \text{ P. Inflexión: } (-2, -2/e^2)}$$

Recopilamos la información para el esbozo: 1. Pasa por el origen $(0,0)$ ya que $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. 2. Tiene un mínimo en $(-1, -0.37)$. 3. Tiene un punto de inflexión en $(-2, -0.27)$. 4. Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) cuando $x$ tiende a $-\infty$ por debajo del eje. 5. Crece rápidamente hacia $+\infty$ cuando $x \to +\infty$. 💡 **Tip:** Al dibujar, asegúrate de que la transición de cóncava a convexa en $x=-2$ sea suave y que el mínimo en $x=-1$ sea el punto más bajo de la curva. Como resultado final, presentamos la representación gráfica interactiva de la función: