Recta perpendicular a un plano y distancia de un punto a un plano

**a) Halle la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. (1 punto)** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. A partir de la ecuación general del plano $\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0$, identificamos los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n}_\pi = (2, 3, -3)$$ Por tanto, podemos tomar como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (2, 3, -3)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$. Si la recta es perpendicular al plano, la dirección de la recta es la normal del plano.

Conocemos un punto por el que pasa la recta, $P = (2, 2, 1)$, y su vector director, $\vec{v}_r = (2, 3, -3)$. Podemos expresar la recta $r$ en sus ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ O también en su forma continua: $$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{-3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{cases}}$$

**b) Calcule la distancia del punto $Q = (2, 2, -2)$ al plano $\pi$. (1 punto)** Usamos la fórmula de la distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores de $Q = (2, 2, -2)$ y los coeficientes del plano $\pi \equiv 2x + 3y - 3z + 6 = 0$: 1. **Numerador:** $|2(2) + 3(2) - 3(-2) + 6| = |4 + 6 + 6 + 6| = |22| = 22$ 2. **Denominador:** $\sqrt{2^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$ Por tanto: $$d(Q, \pi) = \frac{22}{\sqrt{22}}$$ Racionalizando la expresión: $$d(Q, \pi) = \frac{22\sqrt{22}}{22} = \sqrt{22} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre es un valor positivo, por eso usamos el valor absoluto en el numerador. Si el resultado fuera 0, significaría que el punto está contenido en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(Q, \pi) = \sqrt{22} \approx 4,69 \text{ u}}$$