Perpendicularidad entre recta y plano. Plano perpendicular a otros dos

**a) Dada la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+1}{4}$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + mz = 0$, calcule $m$ para que la recta y el plano sean perpendiculares.** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe tener la misma dirección (ser paralelo) al vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. Extraemos los vectores de las ecuaciones dadas: - De la recta $r$ en forma continua: $\vec{v}_r = (2, 1, 4)$ - Del plano $\pi$ en forma general: $\vec{n}_\pi = (2, 1, m)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el vector director es $(a, b, c)$. En el plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $(A, B, C)$.

Para que $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$ sean paralelos, sus coordenadas deben ser proporcionales: $$\frac{2}{2} = \frac{1}{1} = \frac{4}{m}$$ Simplificando las fracciones: $$1 = 1 = \frac{4}{m}$$ De aquí obtenemos la ecuación: $$1 = \frac{4}{m} \implies m = 4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m=4}$$

**b) Calcule el plano perpendicular a los planos $\pi \equiv x + y + z = 1$ y $\pi_1 \equiv x - y + z = 2$, que pasa por el punto $(1,2,3)$.** Si buscamos un plano $\alpha$ que sea perpendicular a otros dos planos $\pi$ y $\pi_1$, su vector normal $\vec{n}_\alpha$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos simultáneamente. Por tanto, el vector normal $\vec{n}_\alpha$ se puede obtener mediante el **producto vectorial** de $\vec{n}_\pi$ y $\vec{n}_{\pi_1}$: - $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$ - $\vec{n}_{\pi_1} = (1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a otros dos tiene como vector director normal el producto vectorial de los normales de los planos dados.

Calculamos el producto vectorial utilizando el determinante por la regla de Sarrus (o desarrollo por adjuntos): $$\vec{n}_\alpha = \vec{n}_\pi \times \vec{n}_{\pi_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{n}_\alpha = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\alpha = \vec{i}(1 - (-1)) - \vec{j}(1 - 1) + \vec{k}(-1 - 1)$$ $$\vec{n}_\alpha = 2\vec{i} - 0\vec{j} - 2\vec{k}$$ Obtenemos el vector $\vec{n}_\alpha = (2, 0, -2)$. Podemos simplificarlo usando un vector proporcional más sencillo: **$\vec{n}_\alpha = (1, 0, -1)$**.

Con el vector normal $\vec{n}_\alpha = (1, 0, -1)$ y el punto $P(1, 2, 3)$, escribimos la ecuación del plano: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$1(x - 1) + 0(y - 2) - 1(z - 3) = 0$$ Operamos: $$x - 1 - z + 3 = 0$$ $$x - z + 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - z + 2 = 0}$$