Ecuación matricial con inversa y potencias

**Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, calcule el valor de $a$ que hace que: $A^2 = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$** En primer lugar, calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Elemento (1,1): $a \cdot a + a \cdot 0 = a^2$ - Elemento (1,2): $a \cdot a + a \cdot 1 = a^2 + a$ - Elemento (2,1): $0 \cdot a + 1 \cdot 0 = 0$ - Elemento (2,2): $0 \cdot a + 1 \cdot 1 = 1$ $$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & a^2 + a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. En el caso de potencias de matrices cuadradas, esto siempre se cumple.

Para que exista la inversa $A^{-1}$, el determinante de la matriz $A$ debe ser distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - a \cdot 0 = a$$ Por tanto, debe cumplirse que **$a \neq 0$**. Calculamos la matriz adjunta y su traspuesta: 1. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: $A_{11} = (-1)^{1+1}(1) = 1$ $A_{12} = (-1)^{1+2}(0) = 0$ $A_{21} = (-1)^{2+1}(a) = -a$ $A_{22} = (-1)^{2+2}(a) = a$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -a & a \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & a \end{pmatrix}$$ Finalmente, la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa de una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ se puede obtener rápidamente como $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Sustituimos los resultados obtenidos en la ecuación original: $$A^2 = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a^2 & a^2 + a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la suma de las matrices del segundo miembro: $$\begin{pmatrix} a^2 & a^2 + a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a + 0 & -1 + 3 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a^2 & a^2 + a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben ser iguales. Esto genera un sistema de ecuaciones para el parámetro $a$: 1) $a^2 = \dfrac{1}{a} \implies a^3 = 1 \implies a = \sqrt[3]{1} = 1$ 2) $a^2 + a = 2$ 3) $0 = 0$ (Se cumple siempre) 4) $1 = 1$ (Se cumple siempre) Resolvemos la segunda ecuación para comprobar si el valor $a=1$ es válido: $$a^2 + a - 2 = 0$$ $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las soluciones de la segunda ecuación son **$a = 1$** y **$a = -2$**. Como el valor de $a$ debe satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente (la de $a^3=1$ y la de $a^2+a=2$), el único valor posible es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$