Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) Discuta el sistema el sistema según los distintos valores de $m$. (1 punto)** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo** (todos los términos independientes son cero). Esto significa que el sistema siempre será compatible, ya que al menos admite la solución trivial $(0, 0, 0)$. Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2m & -1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & -m & m \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2m & -1 & 0 \\ 1 & 2 & m & 0 \\ 1 & -m & m & 0 \end{array}\right)$$ Como el sistema es homogéneo, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*)$, por lo que la discusión se centrará en comparar el rango de $A$ con el número de incógnitas ($n=3$).

Para hallar los valores críticos de $m$, calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 2m & -1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & -m & m \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 2 \cdot m) + (2m \cdot m \cdot 1) + (-1 \cdot 1 \cdot (-m)) - [(-1 \cdot 2 \cdot 1) + (2 \cdot m \cdot (-m)) + (2m \cdot 1 \cdot m)]$$ $$|A| = (4m + 2m^2 + m) - (-2 - 2m^2 + 2m^2)$$ $$|A| = 2m^2 + 5m + 2$$ 💡 **Tip:** En sistemas homogéneos, si el determinante es distinto de cero, el sistema solo tiene la solución trivial. Si es cero, tiene infinitas soluciones.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que cambian el rango de la matriz: $$2m^2 + 5m + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$$ Obtenemos dos valores: - $m_1 = \frac{-2}{4} = -1/2$ - $m_2 = \frac{-8}{4} = -2$ Estos son los valores donde el **$\text{rango}(A) < 3$**.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para clasificar el sistema: 1. **Si $m \neq -2$ y $m \neq -1/2$**: El $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3 = \text{nº de incógnitas}$. El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. Al ser homogéneo, la única solución es la **trivial: $(0, 0, 0)$**. 2. **Si $m = -2$ o $m = -1/2$**: El $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Como es un sistema homogéneo, es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Tiene **infinitas soluciones** además de la trivial. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1/2\} \implies \text{SCD (Solución trivial)} \\ m = -2 \text{ o } m = -1/2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema si $m = -2$. (1 punto)** Sustituimos $m = -2$ en el sistema original: $$\begin{cases} 2x - 4y - z = 0 \\ x + 2y - 2z = 0 \\ x + 2y - 2z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la segunda y la tercera ecuación son idénticas, por lo que podemos prescindir de una de ellas. El sistema queda: $$\begin{cases} 2x - 4y - z = 0 \\ x + 2y - 2z = 0 \end{cases}$$ Como el $\text{rango}(A) = 2$ (ya que el menor $\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 4 = 8 \neq 0$), tomamos $x$ e $y$ como incógnitas principales y pasamos $z$ al otro lado como parámetro.

Sea **$z = \lambda$**. El sistema es: $$\begin{cases} 2x - 4y = \lambda \\ x + 2y = 2\lambda \end{cases}$$ Resolvemos por reducción sumando ambas ecuaciones tras multiplicar la segunda por $2$: $$(2x - 4y) + 2(x + 2y) = \lambda + 2(2\lambda)$$ $$2x - 4y + 2x + 4y = 5\lambda \implies 4x = 5\lambda \implies x = \frac{5}{4}\lambda$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$\frac{5}{4}\lambda + 2y = 2\lambda \implies 2y = 2\lambda - \frac{5}{4}\lambda \implies 2y = \frac{3}{4}\lambda \implies y = \frac{3}{8}\lambda$$ 💡 **Tip:** Para evitar fracciones en la solución final, podemos elegir $z = 8\lambda$. En ese caso: $x = 10\lambda, y = 3\lambda$. ✅ **Resultado (Resolución):** $$\boxed{x = \frac{5}{4}\lambda, \quad y = \frac{3}{8}\lambda, \quad z = \lambda \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$