Distribución Normal: Agudeza Visual

**a) ¿Qué porcentaje de la población tiene “problemas visuales graves”? (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la agudeza visual de la población. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(2, 1)$$ Donde: - Media: $\mu = 2$ cpg. - Desviación típica: $\sigma = 1$ cpg. Se consideran "problemas visuales graves" aquellos individuos con una agudeza visual inferior a $1.1$ cpg, es decir, debemos calcular $P(X \lt 1.1)$. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier normal $N(\mu, \sigma)$, el primer paso es tipificar la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos la variable $X$ para obtener $Z$: $$P(X \lt 1.1) = P\left(Z \lt \frac{1.1 - 2}{1}\right) = P(Z \lt -0.9)$$ Como la distribución normal es simétrica y las tablas suelen ofrecer valores para $Z \gt 0$, aplicamos las propiedades de simetría y complementario: $$P(Z \lt -0.9) = P(Z \gt 0.9) = 1 - P(Z \le 0.9)$$ Buscamos el valor $0.9$ en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le 0.9) = 0.8159$$ Sustituimos para hallar la probabilidad: $$1 - 0.8159 = 0.1841$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por $100$: $$0.1841 \cdot 100 = 18.41\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{18.41\%}$$

**b) ¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre $2$ y $2.9$ cpg? (1 punto)** En este apartado se nos pide calcular la probabilidad de que la agudeza visual esté en el intervalo $(2, 2.9)$, es decir, $P(2 \lt X \lt 2.9)$. Tipificamos ambos extremos del intervalo: - Para $x = 2 \implies z_1 = \dfrac{2 - 2}{1} = 0$ - Para $x = 2.9 \implies z_2 = \dfrac{2.9 - 2}{1} = 0.9$ Por tanto: $$P(2 \lt X \lt 2.9) = P(0 \lt Z \lt 0.9)$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de un intervalo se calcula restando las funciones de distribución: $P(a \lt Z \lt b) = P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$.

Aplicamos la propiedad del intervalo: $$P(0 \lt Z \lt 0.9) = P(Z \lt 0.9) - P(Z \lt 0)$$ Consultamos los valores en la tabla (o recordamos que $P(Z \lt 0) = 0.5$ por simetría): - $P(Z \lt 0.9) = 0.8159$ - $P(Z \lt 0) = 0.5000$ Efectuamos la resta: $$0.8159 - 0.5000 = 0.3159$$ Convertimos el resultado a porcentaje: $$0.3159 \cdot 100 = 31.59\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{31.59\%}$$