Probabilidad en un torneo de ajedrez

**a) Indique cuáles son los valores de $P(GM/R), P(GM/E)$ y $P(GM/M)$. (0,3 puntos)** Primero, definimos los sucesos según el enunciado: - $R$: Ser ruso. - $E$: Ser estadounidense. - $M$: Ser del resto del mundo. - $GM$: Ser gran maestro. - $\overline{GM}$: No ser gran maestro. Organizamos la información en un árbol de probabilidad para visualizar las probabilidades condicionadas: Extraemos los datos directamente del enunciado: - Rusos: El 28% ($P(R) = 0.28$), con 3/4 de ellos Grandes Maestros: $P(GM/R) = \frac{3}{4} = 0.75$. - Estadounidenses: El 24% ($P(E) = 0.24$), con la mitad Grandes Maestros: $P(GM/E) = \frac{1}{2} = 0.5$. - Resto del mundo: El 48% ($P(M) = 0.48$), con 1/3 de ellos Grandes Maestros: $P(GM/M) = \frac{1}{3} \approx 0.333$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(GM/R) = 0.75, \quad P(GM/E) = 0.5, \quad P(GM/M) = \frac{1}{3}}$$

**b) Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro. (0,7 puntos)** Para calcular la probabilidad de ser gran maestro, $P(GM)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Los sucesos $R, E$ y $M$ forman un sistema completo de sucesos (su suma es $0.28 + 0.24 + 0.48 = 1$). La fórmula es: $$P(GM) = P(R) \cdot P(GM/R) + P(E) \cdot P(GM/E) + P(M) \cdot P(GM/M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(GM) = 0.28 \cdot 0.75 + 0.24 \cdot 0.5 + 0.48 \cdot \frac{1}{3}$$ Calculamos cada término: - $0.28 \cdot 0.75 = 0.21$ - $0.24 \cdot 0.5 = 0.12$ - $0.48 \cdot \frac{1}{3} = 0.16$ Sumamos los resultados: $$P(GM) = 0.21 + 0.12 + 0.16 = 0.49$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(GM) = 0.49}$$

**c) Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso? (1 punto)** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabemos que el participante es Gran Maestro y queremos saber si es ruso: $P(R/GM)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(R/GM) = \frac{P(R \cap GM)}{P(GM)} = \frac{P(R) \cdot P(GM/R)}{P(GM)}$$ Utilizamos los datos obtenidos anteriormente: - $P(R \cap GM) = 0.28 \cdot 0.75 = 0.21$ - $P(GM) = 0.49$ Calculamos el cociente: $$P(R/GM) = \frac{0.21}{0.49}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0.07$: $$P(R/GM) = \frac{21}{49} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (ser ruso) dado un "efecto" observado (ser gran maestro). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R/GM) = \frac{3}{7} \approx 0.4286}$$