Estudio de signo y área de una función polinómica

**a) Estudie el signo de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ en el intervalo $[0,2]$. (0,5 puntos)** Para estudiar el signo de la función, primero debemos encontrar los puntos donde la función se anula (raíces), ya que en esos puntos es donde la función puede cambiar de signo. Resolvemos la ecuación $f(x) = 0$: $$x^3 - 4x^2 + 3x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 4x + 3) = 0$$ De aquí obtenemos la primera raíz: **$x = 0$**. Para las otras raíces, resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 4x + 3 = 0$: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Esto nos da las soluciones: $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ Las raíces de la función son $x=0$, $x=1$ y $x=3$. Dentro del intervalo solicitado $[0,2]$, los puntos de interés son **$x=0$** y **$x=1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para factorizar un polinomio de tercer grado, siempre es útil intentar sacar factor común si no tiene término independiente.

Utilizamos las raíces halladas para dividir el intervalo $[0,2]$ en dos subintervalos: $(0,1)$ y $(1,2)$. Evaluamos el signo de $f(x)$ tomando un valor arbitrario en cada uno: 1. **En $(0, 1)$:** Tomamos $x = 0.5$ $$f(0.5) = (0.5)^3 - 4(0.5)^2 + 3(0.5) = 0.125 - 1 + 1.5 = 0.625 > 0$$ 2. **En $(1, 2)$:** Tomamos $x = 1.5$ $$f(1.5) = (1.5)^3 - 4(1.5)^2 + 3(1.5) = 3.375 - 9 + 4.5 = -1.125 < 0$$ **Tabla de signos de $f(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,2)\\\hline f(x) & + & 0 & - \end{array}$$ ✅ **Resultado (signo):** $$\boxed{\begin{cases} f(x) > 0 & \text{si } x \in (0,1) \\ f(x) < 0 & \text{si } x \in (1,2) \\ f(x) = 0 & \text{si } x \in \{0, 1\} \end{cases}}$$

**b) Calcule el área limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. (1,5 puntos)** Dado que la función cambia de signo en $x=1$, el área total se divide en dos regiones. El área es la integral del valor absoluto de la función: $$A = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \left| \int_{1}^{2} f(x) \, dx \right|$$ Primero, calculamos la integral indefinida (primitiva) de $f(x)$: $$F(x) = \int (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$$ 💡 **Tip:** El área siempre es un valor positivo. Si la función está por debajo del eje X (signo negativo), debemos tomar el valor absoluto de la integral definida en ese tramo.

Calculamos el área del primer recinto $A_1$ en el intervalo $[0, 1]$: $$A_1 = \int_{0}^{1} (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{4 \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} \right) - (0) = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2}$$ Buscamos el común denominador ($12$): $$A_1 = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow nos dice que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$.

Calculamos la integral del segundo recinto en el intervalo $[1, 2]$: $$I_2 = \int_{1}^{2} (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{2}$$ $$I_2 = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{4 \cdot 2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} \right) - \left( \frac{5}{12} \right)$$ $$I_2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + \frac{12}{2} \right) - \frac{5}{12} = (4 - \frac{32}{3} + 6) - \frac{5}{12}$$ $$I_2 = \left( 10 - \frac{32}{3} \right) - \frac{5}{12} = \left( \frac{30 - 32}{3} \right) - \frac{5}{12} = -\frac{2}{3} - \frac{5}{12}$$ $$I_2 = -\frac{8}{12} - \frac{5}{12} = -\frac{13}{12}$$ Como el área debe ser positiva, tomamos el valor absoluto: $$A_2 = |I_2| = \left| -\frac{13}{12} \right| = \frac{13}{12} \text{ u}^2$$

Sumamos las áreas de ambos recintos para obtener el área total: $$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 = \frac{5}{12} + \frac{13}{12} = \frac{18}{12}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $6$: $$A_{\text{total}} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = 1.5 \text{ u}^2}$$ Como apoyo visual, aquí se muestra la función y las regiones integradas: ```json { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "f(x) \\le y \\le 0 \\{1 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 3.5, "bottom": -1.5, "top": 1.5 } } } ```