Teorema de Bolzano y existencia de raíces

**a) Enuncie el Teorema de Bolzano. (1 punto)** El Teorema de Bolzano es un resultado fundamental del análisis real que garantiza la existencia de al menos una raíz para una función continua que cambia de signo en un intervalo cerrado. Su enunciado formal es el siguiente: Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. Si los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos, es decir, $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$f(c) = 0$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, esto significa que si una curva es continua y pasa de estar por debajo del eje $X$ a estar por encima (o viceversa), necesariamente debe cortar al eje $X$ en algún punto intermedio.

**b) Averigüe si la función $f(x) = x + \text{sen } x - 2$ se anula en algún punto del intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$. (1 punto)** Para comprobar si la función se anula (es decir, si tiene una raíz), utilizaremos el Teorema de Bolzano enunciado anteriormente. Primero, analizamos la **continuidad** de $f(x) = x + \text{sen } x - 2$: - La función $x$ es polinómica, por lo tanto, continua en $\mathbb{R}$. - La función $\text{sen } x$ es trigonométrica, continua en $\mathbb{R}$. - La función $-2$ es una constante, continua en $\mathbb{R}$. Como la suma de funciones continuas es otra función continua, $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, es **continua en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$**. 💡 **Tip:** Siempre debemos justificar la continuidad antes de aplicar teoremas como Bolzano, Rolle o el Valor Medio.

A continuación, calculamos el valor de la función en los extremos del intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$ para comprobar si hay un cambio de signo. Para $x = 0$: $$f(0) = 0 + \text{sen}(0) - 2 = 0 + 0 - 2 = -2$$ Claramente, **$f(0) \lt 0$**. Para $x = \frac{\pi}{2}$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2$$ Sabemos que $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ y que $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 1,57 + 1 - 2 = 0,57$$ Claramente, **$f\left(\frac{\pi}{2}\right) \gt 0$**. Como los signos son opuestos ($f(0) \lt 0$ y $f(\frac{\pi}{2}) \gt 0$), se cumplen todas las hipótesis del Teorema de Bolzano.

Dado que $f(x)$ es continua en $[0, \frac{\pi}{2}]$ y toma valores de signo contrario en sus extremos, por el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $c$ en el intervalo abierto $(0, \frac{\pi}{2})$ tal que $f(c) = 0$. Por lo tanto, la función se anula en dicho intervalo. Podemos visualizar este comportamiento en la siguiente gráfica: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, la función se anula en al menos un punto del intervalo } [0, \frac{\pi}{2}]}$$