Límite con L'Hôpital y cálculo de área con integral definida

**a) Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{e^x - 1}$. (1 punto)** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para identificar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+0)}{e^0 - 1} = \frac{\ln(1)}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Cuando obtenemos la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ en un límite de funciones derivables, podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**, que establece que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos de forma independiente el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $[\ln(1+x)]' = \frac{1}{1+x}$ - Derivada del denominador: $[e^x - 1]' = e^x$ Aplicamos el límite a la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{e^x}$$ Ahora sustituimos de nuevo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+0}}{e^0} = \frac{1}{1} = 1$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{1}$$

**b) Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo $[0,3]$, hállese el área limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 9x$ y el eje de abscisas, cuando $x$ varía en el intervalo $[0,3]$. (1 punto)** Para estudiar el signo en el intervalo $[0,3]$, primero buscamos los puntos de corte con el eje de abscisas ($f(x)=0$): $$x^3 - 9x = 0 \implies x(x^2 - 9) = 0 \implies x(x-3)(x+3) = 0$$ Las raíces son $x = 0$, $x = 3$ y $x = -3$. En el intervalo objeto de estudio, $[0, 3]$, los únicos puntos de corte son los extremos. Elegimos un punto interior del intervalo, por ejemplo $x=1$, para ver el signo: $$f(1) = 1^3 - 9(1) = 1 - 9 = -8 < 0$$ Por tanto, en el intervalo $(0, 3)$, la función es **negativa**. $$\begin{array}{c|c} x & (0,3) \\\hline f(x) & - \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para calcular un área, si la función es negativa, el área será la integral del opuesto de la función (o el valor absoluto de la integral) para obtener un resultado positivo.

Como $f(x) \le 0$ en $[0, 3]$, el área $A$ se calcula como: $$A = \int_0^3 |f(x)| \, dx = \int_0^3 -(x^3 - 9x) \, dx = \int_0^3 (9x - x^3) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (9x - x^3) \, dx = \frac{9x^2}{2} - \frac{x^4}{4}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 3]$: $$A = \left[ \frac{9x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = \left( \frac{9(3)^2}{2} - \frac{(3)^4}{4} \right) - \left( \frac{9(0)^2}{2} - \frac{(0)^4}{4} \right)$$ $$A = \left( \frac{81}{2} - \frac{81}{4} \right) - 0 = \frac{162 - 81}{4} = \frac{81}{4} = 20.25$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{20.25 \text{ u}^2}$$