Estudio completo de una función racional: Asíntotas, monotonía y extremos

**a) Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene. (1 punto)** La función $f(x) = \frac{x^2}{2-x}$ es una función racional. El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación del denominador: $$2 - x = 0 \implies x = 2$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el $2$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser asíntotas verticales. ✅ **Dominio:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

Para comprobar si existe una asíntota vertical en $x=2$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2}{2-x} = \frac{4}{0} = \infty$$ Analizando los signos: - Por la izquierda ($x \to 2^-$): $f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty$ - Por la derecha ($x \to 2^+$): $f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x=2$. ✅ **Asíntota Vertical:** $$\boxed{x = 2}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{2-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{-x} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Dado que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(2-x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{2x-x^2} = -1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{2-x} - (-1)x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + x(2-x)}{2-x} \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x - x^2}{2-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2-x} = -2$$ 💡 **Tip:** También podrías hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^2$ entre $-x+2$. El cociente es la asíntota. ✅ **Asíntota Oblicua:** $$\boxed{y = -x - 2}$$

**b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene. (1 punto)** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2)'(2-x) - (x^2)(2-x)'}{(2-x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x(2-x) - x^2(-1)}{(2-x)^2} = \frac{4x - 2x^2 + x^2}{(2-x)^2} = \frac{4x - x^2}{(2-x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero la derivada: $$f'(x) = 0 \implies 4x - x^2 = 0 \implies x(4-x) = 0$$ Obtenemos: **$x_1 = 0$** y **$x_2 = 4$**. ✅ **Derivada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{4x - x^2}{(2-x)^2}}$$

Para determinar la monotonía, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos ($0$ y $4$) y el punto de discontinuidad ($2$). Como el denominador $(2-x)^2$ siempre es positivo en el dominio, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $4x - x^2$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \nexists & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ Analizando los intervalos: - En $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$, $f'(x) < 0$, luego $f(x)$ es **decreciente**. - En $(0, 2) \cup (2, 4)$, $f'(x) > 0$, luego $f(x)$ es **creciente**. ✅ **Monotonía:** $$\boxed{\text{Creciente en: } (0, 2) \cup (2, 4); \quad \text{Decreciente en: } (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)}$$

A partir del estudio anterior: 1. En **$x = 0$**, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(0) = \frac{0^2}{2-0} = 0$. 2. En **$x = 4$**, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(4) = \frac{4^2}{2-4} = \frac{16}{-2} = -8$. 💡 **Tip:** Fíjate que en este caso el valor del máximo relativo ($y=-8$) es menor que el valor del mínimo relativo ($y=0$). Esto es posible porque la función no es continua en todo $\mathbb{R}$. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0); \quad \text{Máximo relativo: } (4, -8)}$$