Geometría en el espacio: Rectas y Planos

**a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano $\alpha \equiv x - y = 0$, es paralela al plano $\beta \equiv 2x - 3y + z = 4$ y pasa por el punto $P = (1, 1, 3)$. (1 punto)** Sea $s$ la recta que buscamos. Para determinar sus ecuaciones necesitamos un punto $P$ (que ya conocemos, $P(1,1,3)$) y un vector director $\vec{v_s}$. Las condiciones impuestas son: 1. $s \subset \alpha \implies$ El vector director $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular al vector normal de $\alpha$ ($\vec{n_\alpha}$). 2. $s \parallel \beta \implies$ El vector director $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular al vector normal de $\beta$ ($\vec{n_\beta}$). Obtenemos los vectores normales de los planos a partir de sus coeficientes: $$\vec{n_\alpha} = (1, -1, 0)$$ $$\vec{n_\beta} = (2, -3, 1)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano o está contenida en él, su vector director es siempre perpendicular al vector normal de dicho plano.

Puesto que $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular a $\vec{n_\alpha}$ y a $\vec{n_\beta}$ simultáneamente, podemos calcularlo mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v_s} = \vec{n_\alpha} \times \vec{n_\beta} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{v_s} = [(-1) \cdot 1] \vec{i} + [0 \cdot 2] \vec{j} + [1 \cdot (-3)] \vec{k} - [(-1) \cdot 2] \vec{k} - [0 \cdot (-3)] \vec{i} - [1 \cdot 1] \vec{j}$$ $$\vec{v_s} = -1\vec{i} + 0\vec{j} - 3\vec{k} + 2\vec{k} - 1\vec{j}$$ $$\vec{v_s} = -1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (-1, -1, -1)$$ Para facilitar los cálculos, podemos tomar un vector proporcional con signo positivo: $$\vec{v_s} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector perpendicular a ambos.

Verificamos primero que el punto $P(1,1,3)$ pertenece al plano $\alpha$ (condición necesaria para que la recta esté contenida en él): $$\alpha \equiv 1 - 1 = 0 \implies 0 = 0 \quad \text{(Se cumple)}$$ Con el punto $P(1,1,3)$ y el vector $\vec{v_s} = (1, 1, 1)$, escribimos las ecuaciones de la recta. **Ecuación continua:** $$\frac{x-1}{1} = rac{y-1}{1} = rac{z-3}{1}$$ **Ecuaciones paramétricas:** $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv x - 1 = y - 1 = z - 3}$$

**b) Hállese la ecuación del plano que es paralelo a $r \equiv x - 1 = y + 2 = \frac{z-1}{2}$ y pasa por los puntos $A = (0, 3, 1)$ y $B = (-2, 1, -1)$. (1 punto)** Sea $\pi$ el plano que queremos hallar. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Elementos disponibles: 1. Punto del plano: Podemos usar $A(0, 3, 1)$. 2. Primer vector director ($\vec{u}$): Al ser paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta es un vector director del plano. $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{2} \implies \vec{u} = \vec{v_r} = (1, 1, 2)$$ 3. Segundo vector director ($\vec{v}$): Al pasar por $A$ y $B$, el vector que une ambos puntos está contenido en el plano. $$\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (-2 - 0, 1 - 3, -1 - 1) = (-2, -2, -2)$$ Para simplificar el cálculo, usaremos un vector proporcional a $\vec{v}$: $$\vec{v'} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores directores no paralelos entre sí. Comprobamos que $(1,1,2)$ y $(1,1,1)$ no son proporcionales.

La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante de la matriz formada por un punto genérico $X(x,y,z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v'_1 & v'_2 & v'_3 \end{vmatrix} = 0$$ Sustituyendo los valores de $A(0,3,1)$, $\vec{u}(1,1,2)$ y $\vec{v'}(1,1,1)$: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 3 & z - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$1(x) + 2(y-3) + 1(z-1) - 1(z-1) - 2(x) - 1(y-3) = 0$$ $$x + 2y - 6 + z - 1 - z + 1 - 2x - y + 3 = 0$$ $$-x + y - 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener la forma estándar: $$x - y + 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x - y + 3 = 0}$$