Cálculo de planos: punto y vectores directores, y planos paralelos

**a) Calcule el plano que pasa por el punto $(1,0,1)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, 2, 3)$. (1,5 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$ que pasa por un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y tiene como vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, consideramos un punto genérico $X(x, y, z)$ del plano. El vector $\vec{PX} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ debe ser linealmente dependiente de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. En este caso: - Punto: $P(1, 0, 1)$ - Vectores: $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, 2, 3)$ El vector genérico es $\vec{PX} = (x-1, y-0, z-1) = (x-1, y, z-1)$. 💡 **Tip:** Un punto y dos vectores no colineales determinan un único plano en el espacio.

Para que los tres vectores sean coplanarios, el determinante formado por ellos debe ser igual a cero: $$\begin{vmatrix} x-1 & y & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por los elementos de la primera fila: $$(x-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (z-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: $$(x-1)(3-2) - y(3-1) + (z-1)(2-1) = 0$$ $$(x-1)(1) - y(2) + (z-1)(1) = 0$$ $$x - 1 - 2y + z - 1 = 0$$ $$x - 2y + z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x - 2y + z - 2 = 0}$$

**b) Calcule el plano paralelo a $3x + 2y + 2z + 1 = 0$ que pasa por el punto $(1,2,3)$ (0,5 puntos)** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son iguales o proporcionales. El plano dado es $\pi_1: 3x + 2y + 2z + 1 = 0$, por lo que su vector normal es $\vec{n} = (3, 2, 2)$. Cualquier plano $\pi_2$ paralelo a $\pi_1$ tendrá la forma: $$3x + 2y + 2z + D = 0$$ donde $D$ es el término independiente que debemos determinar. 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $(A, B, C)$.

Como el plano debe pasar por el punto $Q(1, 2, 3)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación anterior: $$3(1) + 2(2) + 2(3) + D = 0$$ $$3 + 4 + 6 + D = 0$$ $$13 + D = 0 \implies D = -13$$ Sustituimos el valor de $D$ en la ecuación general: $$3x + 2y + 2z - 13 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{3x + 2y + 2z - 13 = 0}$$