Ecuación matricial y producto de matrices

**a) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, hállese la matriz $X$ tal que $AX + B = C$. (1,2 puntos)** Para resolver la ecuación matricial $AX + B = C$, primero debemos despejar $X$. Operamos siguiendo las reglas del álgebra matricial: 1. Restamos la matriz $B$ en ambos lados: $$AX = C - B$$ 2. Para aislar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ (siempre que esta exista): $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(C - B)$$ $$I \cdot X = A^{-1}(C - B) \implies X = A^{-1}(C - B)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices el producto no es conmutativo, por lo que si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos la diferencia de las matrices $C$ y $B$ restando elemento a elemento: $$C - B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 0 & 3 - 2 \\ 2 - 1 & 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $D = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos y su traspuesta para una matriz $2 \times 2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, su inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot D$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & -1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, explíquese cuales de los productos $MN, MP, NP$ pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda. (0,8 puntos)** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Analizamos las dimensiones: - $M$ es de dimensión $2 \times 3$ - $N$ es de dimensión $2 \times 2$ - $P$ es de dimensión $3 \times 2$ 1. **Producto $MN$**: $(2 \times 3) \cdot (2 \times 2)$. El número de columnas de $M$ (3) **no coincide** con las filas de $N$ (2). **No se puede calcular**. 2. **Producto $MP$**: $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$. El número de columnas de $M$ (3) **coincide** con las filas de $P$ (3). **Se puede calcular** y el resultado será una matriz $2 \times 2$. 3. **Producto $NP$**: $(2 \times 2) \cdot (3 \times 2)$. El número de columnas de $N$ (2) **no coincide** con las filas de $P$ (3). **No se puede calcular**. 💡 **Tip:** Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, el producto $AB$ es posible y resulta en una matriz $m \times p$.

Realizamos el producto de las filas de $M$ por las columnas de $P$: $$MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - Fila 1 $\times$ Columna 1: $(1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 1 + 0 + 0 = 1$ - Fila 1 $\times$ Columna 2: $(1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$ - Fila 2 $\times$ Columna 1: $(-1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = -1 + 1 + 0 = 0$ - Fila 2 $\times$ Columna 2: $(-1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = 0 + 1 + 0 = 1$ $$MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2}$$