Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + m \cdot 2 \cdot (-2)] - [m \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = (-1 + 2 - 4m) - (-m - 4 + 2)$$ $$|A| = (1 - 4m) - (-m - 2) = 1 - 4m + m + 2 = 3 - 3m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3 - 3m = 0 \implies 3m = 3 \implies m = 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el rango es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es 3.

Analizamos el primer caso basado en el valor obtenido anteriormente: **Caso 1: $m \neq 1$** Si $m$ es cualquier valor distinto de 1, el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ $$\text{rg}(A^*) = 3$$ $$\text{nº incógnitas} = 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es: $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD): Solución única.}}$$

**Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. La matriz de coeficientes es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 3 - 16) - (-4 - 6 + 0) = -13 - (-10) = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Sistema Incompatible (SI): No tiene solución.}}$$

**b) Resuélvalo para $m = 2$. (0,8 puntos)** Para $m = 2$, el sistema es un SCD (visto en el apartado anterior). El sistema es: $$\begin{cases} x + y + 2z = 4 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$$ Calculamos primero el determinante de la matriz $A$ para este valor: $$|A| = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3$$ Utilizamos la **Regla de Cramer** para hallar las soluciones: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{(-4 + 0 - 12) - (0 - 16 + 3)}{-3} = \frac{-16 + 13}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{(3 + 8 + 0) - (6 + 0 + 8)}{-3} = \frac{11 - 14}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{(0 + 3 - 16) - (-4 - 6 + 0)}{-3} = \frac{-13 + 10}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$ 💡 **Tip:** En la Regla de Cramer, sustituimos la columna de la incógnita que queremos hallar por la columna de términos independientes. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1}$$