Probabilidad en extracciones sucesivas sin reemplazamiento

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos: - $B_i$: Sacar una bola **blanca** en la extracción $i$ ($i=1, 2$). - $N_i$: Sacar una bola **negra** en la extracción $i$ ($i=1, 2$). La urna inicial contiene $\{1B, 3N\}$, haciendo un total de 4 bolas. Como las extracciones son **sin reemplazamiento**, la composición de la urna cambia tras la primera bola. Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidades: 💡 **Tip:** En el primer nivel del árbol hay 1 blanca y 3 negras (total 4). Si sale la blanca ($B_1$), solo quedan 3 negras, por lo que la probabilidad de que la segunda sea negra es $3/3 = 1$.

**A. [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color.** Para que sean de distinto color, tenemos dos casos posibles y excluyentes: 1. La primera es blanca y la segunda negra: $(B_1 \cap N_2)$. 2. La primera es negra y la segunda blanca: $(N_1 \cap B_2)$. Calculamos la probabilidad total sumando ambas ramas: $$P(\text{distinto color}) = P(B_1 \cap N_2) + P(N_1 \cap B_2)$$ Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$: $$P(\text{distinto color}) = P(B_1) \cdot P(N_2 | B_1) + P(N_1) \cdot P(B_2 | N_1)$$ $$P(\text{distinto color}) = \left( \frac{1}{4} \cdot 1 \right) + \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \right)$$ $$P(\text{distinto color}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{distinto color}) = 0,5}$$

**B. [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.** Podemos resolverlo de dos formas: **Método 1: Por el suceso contrario** Como solo hay dos opciones (mismo color o distinto color), la suma de sus probabilidades es 1: $$P(\text{mismo color}) = 1 - P(\text{distinto color})$$ $$P(\text{mismo color}) = 1 - 0,5 = 0,5$$ **Método 2: Analizando los casos** Para que sean del mismo color, ambas deben ser negras $(N_1 \cap N_2)$, ya que solo hay una bola blanca y no hay reemplazamiento: $$P(\text{mismo color}) = P(B_1 \cap B_2) + P(N_1 \cap N_2)$$ Como $P(B_1 \cap B_2) = 0$ (no hay una segunda blanca): $$P(\text{mismo color}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = 0,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{mismo color}) = 0,5}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Calcule la probabilidad de sacar una bola negra en la segunda extracción, si sabemos que la primera bola fue negra.** Este apartado nos pide la probabilidad condicionada $P(N_2 | N_1)$. Si sabemos que la primera bola extraída fue **negra** ($N_1$): 1. En la urna quedaban 4 bolas originalmente. 2. Al quitar una negra, quedan **3 bolas** en total. 3. De esas 3 bolas, una es blanca y **dos son negras**. Por la regla de Laplace en la urna resultante: $$P(N_2 | N_1) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** No es necesario aplicar la fórmula compleja de Bayes, basta con mirar la probabilidad en la rama correspondiente del árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N_2 | N_1) = \frac{2}{3} \approx 0,667}$$