Geometría en el espacio: Rectas, perpendicularidad y área del triángulo

**A. [1,5 PUNTOS] Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$, sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por los puntos $A$ y $C$.** Primero, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para poder definir un punto genérico $C$ que pertenezca a ella. La recta viene dada por: $$r = \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}$$ Si despejamos $z$ en la primera ecuación: $3z = 33 - 4x \implies z = 11 - \frac{4}{3}x$. Para evitar fracciones, podemos llamar $x = 3\lambda$. Entonces: $$\begin{cases} x = 3\lambda \\ y = 0 \\ z = 11 - 4\lambda \end{cases}$$ El vector director de la recta $r$ es $\vec{v_r} = (3, 0, -4)$ y cualquier punto $C$ de la recta tiene la forma: $$C(3\lambda, 0, 11 - 4\lambda)$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, puedes resolver el sistema de ecuaciones tratando una variable como parámetro o calcular el producto vectorial de los vectores normales de los planos.

Sabemos que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$. Esto significa que el vector director de $r$, $\vec{v_r}$, debe ser perpendicular al vector $\overrightarrow{AC}$. Calculamos el vector $\overrightarrow{AC}$ (siendo $A(2, 0, 0)$): $$\overrightarrow{AC} = C - A = (3\lambda - 2, 0 - 0, 11 - 4\lambda - 0) = (3\lambda - 2, 0, 11 - 4\lambda)$$ La condición de perpendicularidad implica que su producto escalar es cero: $$\vec{v_r} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$ $$(3, 0, -4) \cdot (3\lambda - 2, 0, 11 - 4\lambda) = 0$$ $$3(3\lambda - 2) + 0(0) - 4(11 - 4\lambda) = 0$$ $$9\lambda - 6 - 44 + 16\lambda = 0$$ $$25\lambda - 50 = 0 \implies 25\lambda = 50 \implies \lambda = 2$$ Sustituimos $\lambda = 2$ en las coordenadas de $C$: $$C(3(2), 0, 11 - 4(2)) = C(6, 0, 3)$$ ✅ **Resultado (vértice C):** $$\boxed{C(6, 0, 3)}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Determine el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$** Primero obtenemos los vectores: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, 12 - 0, 4 - 0) = (-3, 12, 4)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (6 - 2, 0 - 0, 3 - 0) = (4, 0, 3)$$ Calculamos el producto escalar: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(4) + (12)(0) + (4)(3) = -12 + 0 + 12 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son perpendiculares y el ángulo que forman es $90^\circ$ o $\frac{\pi}{2}$ radianes. ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = 90^\circ \text{ o } \frac{\pi}{2} \text{ rad}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Calcule el área del triángulo $ABC$.** El área de un triángulo de vértices $A, B$ y $C$ viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores con origen común: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$ Calculamos el producto vectorial paso a paso mediante el determinante: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 12 & 4 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (12 \cdot 3)\vec{i} + (4 \cdot 4)\vec{j} + (-3 \cdot 0)\vec{k} - [ (4 \cdot 12)\vec{k} + (0 \cdot 4)\vec{i} + (3 \cdot -3)\vec{j} ]$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (36\vec{i} + 16\vec{j} + 0\vec{k}) - (48\vec{k} + 0\vec{i} - 9\vec{j})$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (36, 16 + 9, 0 - 48) = (36, 25, -48)$$ Calculamos el módulo: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36^2 + 25^2 + (-48)^2} = \sqrt{1296 + 625 + 2304} = \sqrt{4225} = 65$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{65}{2} = 32,5 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Como en el apartado anterior vimos que el triángulo es rectángulo en $A$, también podíamos haber calculado el área como $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 32,5 \text{ u}^2}$$