Estudio de límites, derivada y extremos de una función exponencial

**A. [1 PUNTO] Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$** Primero calculamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]$$ Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se puede aplicar tantas veces como sea necesario mientras se mantenga la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$

Calculamos ahora el límite cuando $x$ tiende a $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x}$$ En este caso, analizamos el comportamiento de cada factor: - El término $x^2 \to (-\infty)^2 = +\infty$. - El término $e^{-x} \to e^{-(-\infty)} = e^{+\infty} = +\infty$. Por tanto, el producto de dos infinitos positivos es infinito positivo: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Calcule la derivada primera de $f(x)$.** La función $f(x) = x^2 e^{-x}$ es un producto de dos funciones: $u(x) = x^2$ y $v(x) = e^{-x}$. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: 1. Derivamos $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$ 2. Derivamos $v(x) = e^{-x} \implies v'(x) = -e^{-x}$ (usando la regla de la cadena) Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = (2x) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$$ Factorizamos el término común $e^{-x}$: $$f'(x) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Factorizar la derivada siempre facilita el estudio del signo y la búsqueda de raíces en los siguientes apartados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Determine los extremos relativos de $f(x)$.** Para hallar los extremos relativos, buscamos los puntos donde la derivada primera es cero: $$f'(x) = 0 \implies (2x - x^2)e^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero para ningún valor real de $x$, la ecuación se reduce a: $$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$$ Obtenemos dos soluciones (puntos críticos): - **$x_1 = 0$** - **$x_2 = 2$** Calculamos las ordenadas correspondientes: - $f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \implies$ Punto $(0, 0)$ - $f(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.54 \implies$ Punto $(2, \frac{4}{e^2})$

**D. [0,5 PUNTOS] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Analizamos el signo de $f'(x) = x(2 - x)e^{-x}$ en los intervalos definidos por las raíces $x=0$ y $x=2$. El factor $e^{-x}$ es siempre positivo, por lo que el signo depende de $x(2 - x)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x \in (-\infty, 0)$, por ejemplo $x = -1$: $f'(-1) = (-1)(2 - (-1))e^1 = -3e < 0$ (**Decreciente**). - Para $x \in (0, 2)$, por ejemplo $x = 1$: $f'(1) = (1)(2 - 1)e^{-1} = 1/e > 0$ (**Creciente**). - Para $x \in (2, +\infty)$, por ejemplo $x = 3$: $f'(3) = (3)(2 - 3)e^{-3} = -3/e^3 < 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (0, 2) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 0) \quad \text{Máximo relativo en } \left(2, \frac{4}{e^2}\right)}$$