Matrices regulares, inversión y ecuaciones matriciales

**A. [0,5 PUNTOS] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares.** Una matriz es **regular** (o invertible) si su determinante es distinto de cero. Vamos a calcular el determinante de ambas matrices: Para la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (3)(-1) = -4 + 3 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz $A$ es **regular**. Para la matriz $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1$$ Como $|B| = 1 \neq 0$, la matriz $B$ es **regular**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $M$ tiene inversa si y solo si su determinante $|M| \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = -1 \neq 0 \text{ y } |B| = 1 \neq 0 \implies A, B \text{ son regulares}}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Calcule las matrices inversas de $A$ y $B$.** Utilizaremos la fórmula de la matriz inversa: $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$. **Para la matriz $A$:** 1. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de la adjunta: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 3. Inversa: $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ **Para la matriz $B$:** 1. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de la adjunta: $\text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ 3. Inversa: $B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$

**C. [0,75 PUNTOS] Despeje $X$ en la ecuación matricial $AXB = A^t - 3B$ en donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.** Para aislar $X$, debemos eliminar las matrices $A$ y $B$ multiplicando por sus inversas. Es fundamental respetar el orden, ya que el producto de matrices no es conmutativo. Dada la ecuación: $AXB = A^t - 3B$ 1. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$A^{-1}(AXB) = A^{-1}(A^t - 3B)$$ $$IXB = A^{-1}(A^t - 3B) \implies XB = A^{-1}(A^t - 3B)$$ 2. Multiplicamos por $B^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$(XB)B^{-1} = A^{-1}(A^t - 3B)B^{-1}$$ $$XI = A^{-1}(A^t - 3B)B^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A^{-1}A = I$ (matriz identidad) y que al multiplicar por la inversa en una ecuación, debes hacerlo en el mismo lado en ambos miembros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = A^{-1}(A^t - 3B)B^{-1}}$$

**D. [0,75 PUNTOS] Calcule $X$.** Primero calculamos el paréntesis $(A^t - 3B)$: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} ; \quad 3B = \begin{pmatrix} -3 & -9 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$ $$A^t - 3B = \begin{pmatrix} 2 - (-3) & -1 - (-9) \\ 3 - 3 & -2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el producto $X = A^{-1} \cdot (A^t - 3B) \cdot B^{-1}$ en dos pasos: 1. $A^{-1} \cdot (A^t - 3B) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10+0 & 16-24 \\ -5+0 & -8+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -8 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}$ 2. Multiplicamos por $B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 10 & -8 \\ -5 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20+8 & 30+8 \\ -10-8 & -15-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & 38 \\ -18 & -23 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 28 & 38 \\ -18 & -23 \end{pmatrix}}$$