Control de peso en contenedores (Distribución Normal)

**A. [1,25 PUNTOS] Calcule la probabilidad de que salte la alarma.** Primero definimos la variable aleatoria que describe el experimento: - $X$: peso de un contenedor en kg. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 100$ y desviación típica $\sigma = 10$, es decir: $$X \sim N(100, 10)$$ La alarma salta si el peso del contenedor supera la capacidad del montacargas ($120 \text{ kg}$). Por tanto, debemos calcular la probabilidad: $$P(X > 120)$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier normal $N(\mu, \sigma)$, debemos tipificar la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos el valor $X = 120$ para pasar a la normal estándar $Z$: $$P(X > 120) = P\left(Z > \frac{120 - 100}{10}\right) = P(Z > 2)$$ Como las tablas de la normal suelen ofrecer la probabilidad acumulada $P(Z \le z)$, usamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor correspondiente a $2.0$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Realizamos la resta: $$P(X > 120) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{alarma}) = 0.0228 \text{ (o } 2.28 \%\text{)}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Calcule cuál debería ser la capacidad del montacargas para que la alarma salte solo en un 1 % de las veces que cargamos un contenedor al azar.** En este caso, la capacidad $C$ es nuestra incógnita. Queremos que la probabilidad de que el peso supere esa capacidad sea del $1 \%$, es decir, $0.01$: $$P(X > C) = 0.01$$ Esto equivale a decir que la probabilidad de que el peso sea menor o igual a la capacidad sea del $99 \%$: $$P(X \le C) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Tipificamos la variable: $$P\left(Z \le \frac{C - 100}{10}\right) = 0.99$$ 💡 **Tip:** En este apartado hacemos el proceso inverso: buscamos la probabilidad en el interior de la tabla para hallar el valor de $z$.

Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z) = 0.99$. Mirando la tabla, observamos que: - Para $z = 2.32$, $P(Z \le 2.32) = 0.9898$ - Para $z = 2.33$, $P(Z \le 2.33) = 0.9901$ Podemos usar el valor más aproximado ($2.33$) o realizar una interpolación (el valor exacto suele tomarse como $z = 2.326$): $$\frac{C - 100}{10} = 2.326$$ Despejamos $C$: $$C - 100 = 2.326 \cdot 10$$ $$C - 100 = 23.26$$ $$C = 100 + 23.26 = 123.26 \text{ kg}$$ (Si usamos $z = 2.33$, el resultado sería $C = 123.3 \text{ kg}$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{C = 123.26 \text{ kg}}$$