Medianas de un triángulo y baricentro

**A. [1,5 PUNTOS] Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo $ABC$.** Una mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Por tanto, el primer paso es calcular los puntos medios de los lados $BC$, $AC$ y $AB$, a los que llamaremos $M_A$, $M_B$ y $M_C$ respectivamente. La fórmula del punto medio entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ es: $$M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2} \right)$$ 1. **Punto medio de $BC$ ($M_A$):** $$M_A = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{-4-4}{2}, \frac{1+5}{2} \right) = (2, -4, 3)$$ 2. **Punto medio de $AC$ ($M_B$):** $$M_B = \left( \frac{-1+1}{2}, \frac{2-4}{2}, \frac{3+5}{2} \right) = (0, -1, 4)$$ 3. **Punto medio de $AB$ ($M_C$):** $$M_C = \left( \frac{-1+3}{2}, \frac{2-4}{2}, \frac{3+1}{2} \right) = (1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es simplemente el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos del segmento.

La mediana $m_a$ pasa por $A(-1, 2, 3)$ y $M_A(2, -4, 3)$. Calculamos el vector director $\vec{v_a} = \vec{AM_A}$: $$\vec{v_a} = (2 - (-1), -4 - 2, 3 - 3) = (3, -6, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{u_a} = (1, -2, 0)$. Escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$m_a: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \\ z = 3 \end{cases}$$ ✅ **Resultado Mediana A:** $$\boxed{m_a: (x, y, z) = (-1, 2, 3) + \lambda(1, -2, 0)}$$

La mediana $m_b$ pasa por $B(3, -4, 1)$ y $M_B(0, -1, 4)$. Calculamos el vector director $\vec{v_b} = \vec{BM_B}$: $$\vec{v_b} = (0 - 3, -1 - (-4), 4 - 1) = (-3, 3, 3)$$ Simplificamos el vector dividiendo por 3: $\vec{u_b} = (-1, 1, 1)$. Escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$m_b: \begin{cases} x = 3 - \mu \\ y = -4 + \mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado Mediana B:** $$\boxed{m_b: (x, y, z) = (3, -4, 1) + \mu(-1, 1, 1)}$$

La mediana $m_c$ pasa por $C(1, -4, 5)$ y $M_C(1, -1, 2)$. Calculamos el vector director $\vec{v_c} = \vec{CM_C}$: $$\vec{v_c} = (1 - 1, -1 - (-4), 2 - 5) = (0, 3, -3)$$ Simplificamos el vector: $\vec{u_c} = (0, 1, -1)$. Escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$m_c: \begin{cases} x = 1 \\ y = -4 + \gamma \\ z = 5 - \gamma \end{cases}$$ ✅ **Resultado Mediana C:** $$\boxed{m_c: (x, y, z) = (1, -4, 5) + \gamma(0, 1, -1)}$$

**B. [1 PUNTO] Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.** Para hallar el punto de intersección (baricentro), igualamos las ecuaciones de $m_a$ y $m_b$: $$-1 + \lambda = 3 - \mu \implies \lambda + \mu = 4$$ $$2 - 2\lambda = -4 + \mu \implies 2\lambda + \mu = 6$$ $$3 = 1 + \mu \implies \mu = 2$$ Sustituyendo $\mu = 2$ en la primera ecuación: $$\lambda + 2 = 4 \implies \lambda = 2$$ Comprobamos si estos valores son coherentes con la segunda ecuación: $$2(2) + 2 = 6 \implies 6 = 6 \quad \text{(Correcto)}$$ Calculamos el punto $G$ usando $\lambda = 2$ en $m_a$: $$x = -1 + 2 = 1, \quad y = 2 - 2(2) = -2, \quad z = 3$$ $$G = (1, -2, 3)$$ Ahora comprobamos si $G$ pertenece a la tercera mediana $m_c$: $$1 = 1 \quad (x)$$ $$-2 = -4 + \gamma \implies \gamma = 2 \quad (y)$$ $$3 = 5 - 2 = 3 \quad (z)$$ Como el sistema tiene solución para $m_c$ con $\gamma = 2$, el punto **$G$ es común a las tres rectas**. 💡 **Tip:** En cualquier triángulo, el baricentro $G$ se puede calcular directamente como la media aritmética de los vértices: $G = \frac{A+B+C}{3}$. $$G = \left( \frac{-1+3+1}{3}, \frac{2-4-4}{3}, \frac{3+1+5}{3} \right) = (1, -2, 3)$$ ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{G(1, -2, 3)}$$