Optimización de las dimensiones de un cartel

**A. [0,25 PUNTOS] Realice un dibujo planteando el problema.** Para visualizar el problema, representamos el cartel exterior y la zona de texto interior. Sean: - $x$: la anchura de la zona de texto (en cm). - $y$: la altura de la zona de texto (en cm). Los márgenes añaden dimensiones adicionales al papel: - Anchura total: $X = x + 4 + 4 = x + 8$. - Altura total: $Y = y + 3 + 2 = y + 5$.

**B. [2,25 PUNTOS] Calcule las dimensiones (anchura y altura) que debe tener el cartel de manera que se utilice la menor cantidad de papel posible.** Sabemos que el área destinada al texto es de $90 \text{ cm}^2$: $$x \cdot y = 90 \implies y = \frac{90}{x}$$ Queremos minimizar la superficie total del papel ($S$), que es el producto de la anchura total por la altura total: $$S = (x + 8)(y + 5)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos expresar la función a optimizar en términos de una sola variable utilizando las restricciones del enunciado.

Sustituimos $y = \dfrac{90}{x}$ en la función de la superficie: $$S(x) = (x + 8) \left( \frac{90}{x} + 5 \right)$$ Desarrollamos la expresión para facilitar la derivación: $$S(x) = x \cdot \frac{90}{x} + 5x + 8 \cdot \frac{90}{x} + 8 \cdot 5$$ $$S(x) = 90 + 5x + \frac{720}{x} + 40$$ $$S(x) = 5x + \frac{720}{x} + 130$$ El dominio de esta función es $x \gt 0$, ya que representa una longitud. $$\boxed{S(x) = 5x + \frac{720}{x} + 130}$$

Para encontrar el mínimo, calculamos la derivada $S'(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = 5 - \frac{720}{x^2}$$ Igualamos a cero: $$5 - \frac{720}{x^2} = 0 \implies 5 = \frac{720}{x^2} \implies x^2 = \frac{720}{5}$$ $$x^2 = 144 \implies x = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$ Descartamos la solución negativa $x = -12$ porque las dimensiones deben ser positivas. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$.

Para confirmar que en $x = 12$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la derivada segunda o el cambio de signo de la primera. Calculamos $S''(x)$: $$S''(x) = \left( 5 - 720x^{-2} \right)' = -720 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{1440}{x^3}$$ Evaluamos en el punto crítico: $$S''(12) = \frac{1440}{12^3} = \frac{1440}{1728} \gt 0$$ Como $S''(12) \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 12$. También podemos verlo con la tabla de monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,12) & 12 & (12,+\infty) \\\hline S'(x) & - & 0 & + \\\hline S(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ $$\boxed{x = 12 \text{ garantiza el área mínima}}$$

Calculamos las dimensiones totales solicitadas (anchura y altura del cartel). Primero obtenemos $y$ para el texto: $$y = \frac{90}{12} = 7.5 \text{ cm}$$ Ahora, calculamos las dimensiones totales del cartel: - **Anchura total:** $X = x + 8 = 12 + 8 = 20 \text{ cm}$. - **Altura total:** $Y = y + 5 = 7.5 + 5 = 12.5 \text{ cm}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Anchura} = 20 \text{ cm}, \quad \text{Altura} = 12.5 \text{ cm}}$$