Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**A. [1 PUNTO] Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única. Resuélvalo para $t = 0$ si es posible.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} t & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -t \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} t & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -t & -1 \\ 1 & 1 & 1 & t \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -t \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (t \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot (-t) \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-2)) - [(-2) \cdot 1 \cdot 1 + (-t) \cdot 1 \cdot t + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = t - t - 2 - (-2 - t^2 + 1) = -2 - (-1 - t^2) = t^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$t^2 - 1 = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = 1, \quad t = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema es compatible determinado (solución única) según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema tiene solución única si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$ (número de incógnitas). Esto ocurre cuando $|A| \neq 0$. Por tanto, el sistema tiene **solución única** si: $$\boxed{t \neq 1 \text{ y } t \neq -1}$$ Como $t = 0$ cumple esta condición ($0 \neq 1, -1$), resolvemos el sistema para dicho valor: $$\begin{cases} y - 2z = 0 \\ x + y = -1 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ De la segunda y tercera ecuación: $(x + y) + z = 0 \implies -1 + z = 0 \implies \mathbf{z = 1}$. Sustituyendo en la primera: $y - 2(1) = 0 \implies \mathbf{y = 2}$. Sustituyendo en la segunda: $x + 2 = -1 \implies \mathbf{x = -3}$. ✅ **Resultado para $t=0$:** $$\boxed{(x, y, z) = (-3, 2, 1)}$$

**B. [1 PUNTO] Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** El sistema tiene infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado) si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) \lt 3$. Analizamos los valores críticos: **Caso $t = -1$:** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas ($F_2 = F_3$), por lo que el determinante de cualquier submatriz $3 \times 3$ será cero. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como la fila de términos independientes no aporta información nueva (la tercera ecuación es igual a la segunda), $\text{rang}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt 3$, para **$t = -1$ el sistema tiene infinitas soluciones**. 💡 **Tip:** Cuando dos filas son proporcionales o iguales, el rango se reduce. En este caso, podemos prescindir de una de las ecuaciones repetidas.

Para resolver el sistema con $t = -1$, eliminamos la ecuación redundante y usamos un parámetro: $$\begin{cases} -x + y - 2z = 0 \\ x + y + z = -1 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} -x + y = 2\lambda \\ x + y = -1 - \lambda \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $2y = \lambda - 1 \implies y = \frac{\lambda - 1}{2}$. Restando la primera a la segunda: $2x = -1 - 3\lambda \implies x = \frac{-1 - 3\lambda}{2}$. ✅ **Resultado (Infinitas soluciones):** $$\boxed{t = -1; \quad (x, y, z) = \left( \frac{-1-3\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el valor crítico restante, **$t = 1$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ El determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 + 0 + 2) - (0 - 1 - 2) = 1 - (-3) = 4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rang}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 1}$$ 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible cuando los planos representados por las ecuaciones no tienen ningún punto común.