Probabilidad de vacunación y enfermedad

Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $V$: La persona seleccionada está **vacunada**. - $\bar{V}$: La persona seleccionada **no está vacunada**. - $E$: La persona seleccionada tiene la **enfermedad $E$**. - $\bar{E}$: La persona seleccionada **no tiene la enfermedad $E$**. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(V) = 0.90$ (el 90 % está vacunado). - $P(\bar{V}) = 1 - 0.90 = 0.10$ (el 10 % restante no está vacunado). - $P(E|\bar{V}) = 0.05$ (el 5 % de los no vacunados están enfermos). - $P(E|V) = 0.01$ (el 1 % de los vacunados están enfermos). 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad compuesta, identificar claramente si el dato es una probabilidad simple o condicionada (como "de las personas no vacunadas...") es fundamental.

Para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos, construimos un árbol de probabilidad:

**A. [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma.** Para calcular la probabilidad de que una persona esté enferma, $P(E)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La enfermedad puede darse en dos casos: que la persona esté vacunada o que no lo esté. $$P(E) = P(V) \cdot P(E|V) + P(\bar{V}) \cdot P(E|\bar{V})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(E) = (0.90 \cdot 0.01) + (0.10 \cdot 0.05)$$ $$P(E) = 0.009 + 0.005 = 0.014$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso deseado (en este caso, enfermar). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E) = 0.014}$$

**B. [1,5 PUNTOS] Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma.** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, $P(V|E)$. Para resolverlo aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(V|E) = \frac{P(V \cap E)}{P(E)} = \frac{P(V) \cdot P(E|V)}{P(E)}$$ Ya conocemos los datos del numerador y el resultado del denominador del apartado anterior: - $P(V \cap E) = 0.90 \cdot 0.01 = 0.009$ - $P(E) = 0.014$ Calculamos el cociente: $$P(V|E) = \frac{0.009}{0.014} = \frac{9}{14} \approx 0.642857$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(V|E) \approx 0.6429$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condición. Si sabemos la probabilidad de estar enfermo estando vacunado, Bayes nos permite hallar la probabilidad de estar vacunado habiendo enfermado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V|E) = \frac{9}{14} \approx 0.6429}$$