Posición relativa y métrica entre recta y plano

**A. [1 PUNTO] Estudie la posición relativa de recta y plano.** Primero extraemos un punto y el vector director de la recta $r$, así como el vector normal del plano $\pi$. De la ecuación continua de la recta $r: \frac{x-(-1)}{-1} = \frac{y-(-3)}{2} = \frac{z-0}{1}$: - Punto de la recta: $P_r(-1, -3, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 2, 1)$ De la ecuación general del plano $\pi: x - 2y - z + 1 = 0$: - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (1, -2, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

Para estudiar la posición relativa, analizamos el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) = -1 - 4 - 1 = -6$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, los vectores no son perpendiculares. Esto implica que la recta **no es paralela** al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un único punto). 💡 **Tip:** Si el producto escalar fuera $0$, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él. Como es distinto de $0$, garantizamos que hay un punto de corte. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes.}}$$

**B. [1,5 PUNTOS] Si $r$ corta a $\pi$ calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos.** Para hallar el punto de corte $I$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = -3 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: x - 2y - z + 1 = 0$: $$(-1 - \lambda) - 2(-3 + 2\lambda) - (\lambda) + 1 = 0$$ $$-1 - \lambda + 6 - 4\lambda - \lambda + 1 = 0$$ $$6 - 6\lambda = 0 \implies 6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para obtener el punto $I$: $$x = -1 - (1) = -2$$ $$y = -3 + 2(1) = -1$$ $$z = 1$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{I(-2, -1, 1)}$$

El ángulo $\alpha$ que forman una recta y un plano se calcula mediante el seno del ángulo entre el vector director de la recta y el normal del plano: $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{n}_\pi| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos los valores (ya sabemos que $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = -6$): $$\sin(\alpha) = \frac{|-6|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{6} = 1$$ Si $\sin(\alpha) = 1$, entonces: $$\alpha = \arcsin(1) = 90^\circ$$ 💡 **Tip:** Curiosamente, en este caso el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano (son proporcionales: $\vec{v}_r = -1 \cdot \vec{n}_\pi$), lo que indica que la recta es perpendicular al plano. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = 90^\circ}$$