Estudio de una función racional: asíntotas, primitiva y cálculo de área

**A. [1 PUNTO] Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.** La función $f(x) = \frac{3}{x}$ es una función racional. El dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador. Para hallar estos valores, igualamos el denominador a cero: $$x = 0$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales no podemos dividir por cero, por lo que los ceros del denominador definen los puntos de discontinuidad y posibles asíntotas verticales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para comprobar si hay una asíntota vertical en el punto excluido del dominio ($x=0$), calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{3}{x} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{x} = +\infty$$ Como el límite es infinito en $x=0$, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = 0}$$

Buscamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito para hallar la asíntota horizontal: $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3}{x} = 0$$ Al ser el límite un valor finito, existe una asíntota horizontal en la recta $y=0$ (el propio eje OX). 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite en el infinito siempre es $0$, lo que implica que $y=0$ es la asíntota horizontal. Además, si hay asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua. ✅ **Resultado (A.H.):** $$\boxed{y = 0}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Halle una primitiva de $f(x)$.** Una primitiva $F(x)$ es aquella función tal que $F'(x) = f(x)$. Para hallarla, calculamos la integral indefinida: $$F(x) = \int \frac{3}{x} \, dx$$ Sacamos la constante fuera de la integral: $$F(x) = 3 \int \frac{1}{x} \, dx$$ Sabemos que la integral de $\frac{1}{x}$ es el logaritmo neperiano del valor absoluto de $x$: $$F(x) = 3 \ln |x| + C$$ Como nos piden una primitiva concreta, podemos tomar $C = 0$. Además, como en el siguiente apartado trabajaremos en el intervalo $[1, e]$, donde $x$ es positivo, podemos prescindir del valor absoluto: 💡 **Tip:** Recuerda la regla básica de integración $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = 3 \ln x}$$

**C. [1 PUNTO] Calcule el área de la región limitada por la función $y = f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = e$ y el eje OX de abscisas.** El área de la región viene dada por la integral definida de la función entre los límites indicados. Primero comprobamos si la función cambia de signo en el intervalo $[1, e]$. Como $f(x) = \frac{3}{x}$, para cualquier $x \in [1, e]$, la función es positiva ($f(x) \gt 0$), por lo que el área coincide directamente con el valor de la integral: $$A = \int_{1}^{e} \frac{3}{x} \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una curva positiva $f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$ es $\int_a^b f(x) dx$. Si la función cruzara el eje OX, tendríamos que dividir el intervalo en varios trozos. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{3}{x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "va", "latex": "x=1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "vb", "latex": "x=e", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "reg", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{1 \\le x \\le e\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 4, "bottom": -0.5, "top": 4 } } }

Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior $F(x) = 3 \ln x$ y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ 3 \ln x \right]_{1}^{e} = (3 \ln e) - (3 \ln 1)$$ Sabemos que $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$, por lo tanto: $$A = 3(1) - 3(0) = 3$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 3 \text{ unidades}^2}$$