Operaciones con matrices, inversa y ecuación matricial

**A. [0,5 PUNTOS] Calcule $A^2$ y comprueba que es regular.** Primero, calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1(1) + 0(-1) & 1(0) + 0(2) \\ -1(1) + 2(-1) & -1(0) + 2(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$ Para comprobar si es **regular** (es decir, si tiene inversa), calculamos su determinante: $$|A^2| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4) - (0 \cdot (-3)) = 4 - 0 = 4$$ Como $|A^2| = 4 \neq 0$, la matriz es regular. 💡 **Tip:** Una matriz es regular o invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \text{ es regular ya que } |A^2| = 4 \neq 0}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Calcule la matriz inversa de $A^2$.** Utilizaremos la fórmula $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \text{Adj}(A^2)^T$. 1. Ya sabemos que $|A^2| = 4$. 2. Hallamos la matriz de adjuntos (cofactores) de $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$: - $Adj_{11} = (-1)^{1+1}(4) = 4$ - $Adj_{12} = (-1)^{1+2}(-3) = 3$ - $Adj_{21} = (-1)^{2+1}(0) = 0$ - $Adj_{22} = (-1)^{2+2}(1) = 1$ Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(A^2) = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $\text{Adj}(A^2)^T = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ 4. Calculamos la inversa: $$(A^2)^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3/4 & 1/4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la secundaria, dividiendo luego por el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A^2)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}$$

**C. [1 PUNTO] Despeje $X$ en la ecuación matricial $A^2 X + B = C$.** Para despejar $X$, seguimos el orden de las operaciones matriciales: 1. Restamos la matriz $B$ en ambos miembros: $$A^2 X = C - B$$ 2. Para aislar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A^2$, que denotamos como $(A^2)^{-1}$: $$(A^2)^{-1} (A^2 X) = (A^2)^{-1} (C - B)$$ 3. Aplicamos la propiedad asociativa y la definición de matriz inversa ($M^{-1} M = I$): $$I \cdot X = (A^2)^{-1} (C - B)$$ $$X = (A^2)^{-1} (C - B)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es crucial. Como $A^2$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda al otro lado del igual. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = (A^2)^{-1} (C - B)}$$

**D. [0,5 PUNTOS] Calcule la matriz $X$ de orden $2 \times 2$, que verifica $A^2 X + B = C$.** Utilizamos la expresión obtenida en el apartado anterior. Primero calculamos $C - B$: $$C - B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $(A^2)^{-1}$ por el resultado anterior: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3/4 & 1/4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1(0) + 0(-2) & 1(2) + 0(0) \\ \frac{3}{4}(0) + \frac{1}{4}(-2) & \frac{3}{4}(2) + \frac{1}{4}(0) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2/4 & 6/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}}$$