Distribución Normal: Tiempo de Vuelo

**A. [1,25 PUNTOS] Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de $T = 70$ minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de vuelo en minutos del trayecto Santander – Madrid. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu = 60, \sigma = 5)$$ Se nos indica que para realizar la conexión, el tiempo debe ser menor que 70 minutos ($X \lt 70$). Por tanto, el suceso "perder el avión" ocurre si el tiempo de vuelo es igual o superior a 70 minutos: $$P(\text{perder el avión}) = P(X \ge 70)$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua como la Normal, $P(X \ge k)$ es igual a $P(X \gt k)$, ya que la probabilidad en un punto exacto es cero.

Para calcular probabilidades en una normal $N(\mu, \sigma)$, debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X \ge 70) = P\left(Z \ge \frac{70 - 60}{5}\right) = P\left(Z \ge \frac{10}{5}\right) = P(Z \ge 2)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen mostrar áreas a la izquierda ($Z \le z$), usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \ge 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos el valor para $z = 2,00$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2) = 0,9772$$ Calculamos el resultado final: $$P(X \ge 70) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{perder}) = 0,0228 \text{ (o } 2,28\% \text{)}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Calcule cuanto debe valer $T$ para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1 %.** En este apartado, buscamos un valor $T$ tal que la probabilidad de que el tiempo de vuelo supere ese umbral sea exactamente del $0,1\%$. Expresado en términos decimales: $$0,1\% = \frac{0,1}{100} = 0,001$$ Planteamos la ecuación: $$P(X \ge T) = 0,001$$ Tipificamos la variable: $$P\left(Z \ge \frac{T - 60}{5}\right) = 0,001$$ 💡 **Tip:** Cuando nos dan la probabilidad y nos piden el valor de la variable, estamos ante un problema de búsqueda inversa en la tabla normal.

Para usar la tabla, convertimos la desigualdad a menor o igual: $$1 - P\left(Z \le \frac{T - 60}{5}\right) = 0,001 \implies P\left(Z \le \frac{T - 60}{5}\right) = 1 - 0,001 = 0,999$$ Buscamos en el interior de la tabla de la $N(0, 1)$ el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0,999$. Observamos que: - Para $z = 3,09$, la probabilidad es $\approx 0,9990$ Por tanto, igualamos el valor tipificado con el valor crítico $z = 3,09$: $$\frac{T - 60}{5} = 3,09$$ Despejamos $T$: $$T - 60 = 3,09 \cdot 5$$ $$T - 60 = 15,45$$ $$T = 60 + 15,45 = 75,45$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{T = 75,45 \text{ minutos}}$$