Geometría en el espacio: Rectas, planos y área de un triángulo

**A. [1,5 PUNTOS] Calcule la ecuación de la recta $r$.** Se nos indica que la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi = 2x - y + z = 1$. Cuando una recta es perpendicular a un plano, el **vector director de la recta ($\vec{v}_r$)** es paralelo al **vector normal del plano ($\vec{n}_\pi$)**. A partir de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $(A, B, C)$. En este caso: $$\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$$ Por tanto, podemos tomar como vector director de $r$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi$, entonces el vector director $\vec{v}_r$ y el vector normal $\vec{n}_\pi$ son proporcionales.

Conocemos el punto por el que pasa la recta, $B = (1, 1, 1)$, y su vector director $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$. Podemos escribir la recta en su forma paramétrica, que será de gran utilidad para el apartado B: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (Apartado A):** $$\boxed{r: (x,y,z) = (1,1,1) + \lambda(2,-1,1)}$$

**B. [1 PUNTO] Calcule las coordenadas del vértice $C$ sabiendo que el área del triángulo es $3\sqrt{30}$** Como el vértice $C$ está en la recta $r$, sus coordenadas deben cumplir la ecuación de dicha recta para algún valor de $\lambda$: $$C = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$$ Para calcular el área del triángulo $ABC$, necesitamos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: 1. $\vec{AB} = B - A = (1, 1, 1) - (0, -1, 1) = (1, 2, 0)$ 2. $\vec{AC} = C - A = (1 + 2\lambda - 0, 1 - \lambda - (-1), 1 + \lambda - 1) = (1 + 2\lambda, 2 - \lambda, \lambda)$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores: $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

Calculamos el producto vectorial utilizando el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1+2\lambda & 2-\lambda & \lambda \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollando por la primera fila: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2-\lambda & \lambda \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1+2\lambda & \lambda \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1+2\lambda & 2-\lambda \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} (2\lambda - 0) - \vec{j} (\lambda - 0) + \vec{k} ( (2-\lambda) - 2(1+2\lambda) )$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2\lambda) \vec{i} - (\lambda) \vec{j} + (2 - \lambda - 2 - 4\lambda) \vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2\lambda, -\lambda, -5\lambda)$$ Calculamos ahora su módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + (-5\lambda)^2} = \sqrt{4\lambda^2 + \lambda^2 + 25\lambda^2} = \sqrt{30\lambda^2} = |\lambda|\sqrt{30}$$

Igualamos el área obtenida al valor dado en el enunciado ($3\sqrt{30}$): $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{|\lambda|\sqrt{30}}{2} = 3\sqrt{30}$$ Simplificamos dividiendo ambos lados por $\sqrt{30}$: $$\frac{|\lambda|}{2} = 3 \implies |\lambda| = 6$$ Esto nos da dos posibles valores para $\lambda$: **$\lambda = 6$** y **$\lambda = -6$**. Sustituimos en las coordenadas de $C = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$: 1. Si **$\lambda = 6$**: $$C_1 = (1 + 2(6), 1 - 6, 1 + 6) = (13, -5, 7)$$ 2. Si **$\lambda = -6$**: $$C_2 = (1 + 2(-6), 1 - (-6), 1 + (-6)) = (-11, 7, -5)$$ ✅ **Resultado (Apartado B):** $$\boxed{C_1 = (13, -5, 7) \text{ y } C_2 = (-11, 7, -5)}$$