Derivada, pendiente y asíntotas de una función exponencial

**A. [0,5 PUNTOS] Calcule la derivada primera de $f(x)$.** La función dada es un cociente de dos funciones: $u(x) = e^x$ y $v(x) = x$. Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Identificamos los elementos: - $u = e^x \implies u' = e^x$ - $v = x \implies v' = 1$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$$ Factorizamos el término común $e^x$ en el numerador para simplificar la expresión: $$f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la función exponencial $e^x$ es ella misma, y la derivada de $x$ es $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.** La pendiente $m$ de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto $x = a$ coincide con el valor de su derivada en dicho punto: $m = f'(a)$. En este caso, debemos evaluar $f'(x)$ en $x = 2$: $$m = f'(2) = \frac{e^2(2 - 1)}{2^2}$$ Operamos: $$m = \frac{e^2 \cdot 1}{4} = \frac{e^2}{4}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente es el concepto geométrico de la derivada evaluada en el punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = \frac{e^2}{4}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Calcule las asíntotas verticales de $f(x)$.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio de la función, donde el denominador se anula. 1. **Dominio:** La función $f(x) = \frac{e^x}{x}$ está definida para todo $x$ excepto cuando el denominador es cero. Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. 2. **Límite en el punto crítico ($x=0$):** $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x} = \frac{e^0}{0} = \frac{1}{0} = \infty$$ Analizamos los límites laterales para mayor detalle: - Por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$ Al ser el límite infinito, existe una asíntota vertical en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una recta $x = a$ es asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales de la función cuando $x$ tiende a $a$ es infinito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0}$$

**D. [1 PUNTO] Calcule las asíntotas horizontales de $f(x)$.** Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ y a $-\infty$. 1. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{\infty}{\infty}$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(e^x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. 2. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{e^{-\infty}}{-\infty} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ Como el límite es una constante finita ($y=0$), existe una asíntota horizontal por la izquierda. 💡 **Tip:** Recuerda que $e^{-\infty}$ tiende a $0$. No confundas el comportamiento en $+\infty$ (crecimiento exponencial) con el de $-\infty$ (tendencia a cero). ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 0 \text{ (solo cuando } x \to -\infty)}$$