Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro

**A. [0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} t & 1 & 1 \\ 1 & -t & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} t & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -t & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & t + 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según los valores del parámetro $t$, calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t & 1 & 1 \\ 1 & -t & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (t)(-t)(1) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) - [ (1)(-t)(1) + (1)(1)(t) + (1)(1)(1) ]$$ $$|A| = -t^2 + 1 + 1 - (-t + t + 1) = -t^2 + 2 - 1 = -t^2 + 1$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-t^2 + 1 = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = 1, \quad t = -1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos indica que un sistema tiene solución única si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la ampliada e igual al número de incógnitas.

Si $t \neq 1$ y $t \neq -1$, el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado (A):** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución única para } t \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}}$$

**B. [1 PUNTO] Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Analizamos el caso $t = -1$. La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas ($F_2 = F_3$), por lo que el rango de $A$ y de $A^*$ será menor que 3. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como la fila 3 no aporta información nueva a la matriz ampliada (es combinación lineal de la 2), el $\text{rango}(A^*) = 2$ también. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (B - parte 1):** $$\boxed{\text{El sistema tiene infinitas soluciones para } t = -1}$$

Para resolver el sistema cuando $t = -1$, eliminamos la ecuación redundante y nos quedamos con: $$\begin{cases} -x + y + z = 4 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} -x + y = 4 - \lambda \\ x + y = 1 - \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para despejar $y$: $$(-x + x) + (y + y) = (4 - \lambda) + (1 - \lambda) \implies 2y = 5 - 2\lambda \implies y = \frac{5}{2} - \lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$x + \left(\frac{5}{2} - \lambda\right) = 1 - \lambda \implies x = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado (B - solución):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2} - \lambda, \lambda\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

**C. [0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso $t = 1$. La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Observamos las filas $F_1$ y $F_3$ en la parte de los coeficientes: son idénticas ($x+y+z$). Sin embargo, sus términos independientes son distintos ($4 \neq 3$). Esto ya indica que el sistema será incompatible. Formalmente, calculamos los rangos: En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. En $A^*$, calculamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [(-3) + (1) + (4)] - [(-4) + (1) + (3)] = 2 - 0 = 2 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (C):** $$\boxed{\text{El sistema no tiene solución para } t = 1}$$