Probabilidades en la distribución normal y cálculo de parámetros

**(a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso en kilos de un individuo de la población. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 70$ y desviación típica $\sigma = 10$, es decir: $$X \sim N(70, 10)$$ Para calcular probabilidades asociadas a $X$, debemos realizar el proceso de **tipificación** para pasar a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 70}{10}$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar los valores de la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ proporcionados en el enunciado.

Buscamos la probabilidad $P(65 \le X \le 75)$. Tipificamos los valores del intervalo: Para $x = 65 \implies z = \frac{65 - 70}{10} = -0.5$ Para $x = 75 \implies z = \frac{75 - 70}{10} = 0.5$ Entonces: $$P(65 \le X \le 75) = P(-0.5 \le Z \le 0.5)$$ Utilizando las propiedades de la función de distribución: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -0.5)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$: $$P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - (1 - P(Z \le 0.5)) = 2P(Z \le 0.5) - 1$$ Consultamos el valor proporcionado $F(0.5) = P(Z \le 0.5) = 0.6915$: $$P(65 \le X \le 75) = 2 \cdot 0.6915 - 1 = 1.383 - 1 = 0.383$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(65 \le X \le 75) = 0.383}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{1}{10\\sqrt{2\\pi}}e^{-0.5\\left(\\frac{x-70}{10}\\right)^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{ 65 \\le x \\le 75 \\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 35, "right": 105, "bottom": -0.01, "top": 0.05 } } }

**(b) (1.25 puntos) Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es 0.6 ¿Cuál es la nueva media?** En esta nueva situación, la desviación típica se mantiene $\sigma = 10$, pero la media ha cambiado a un valor desconocido $\mu'$. La nueva variable es $X' \sim N(\mu', 10)$. El enunciado nos indica que: $$P(X' \lt 75) = 0.6$$ Procedemos a tipificar esta expresión: $$P\left( Z \lt \frac{75 - \mu'}{10} \right) = 0.6$$ 💡 **Tip:** Cuando conocemos la probabilidad y queremos hallar el parámetro, debemos buscar en los valores de la tabla $F(x) = p$ cuál es el valor de $x$ que corresponde a esa probabilidad $p$.

Buscamos en los datos proporcionados qué valor de $z$ cumple $P(Z \le z) = 0.6$. Observamos que: $$F(0.15) = P(Z \le 0.15) = 0.6$$ Por tanto, igualamos el valor tipificado con $0.15$: $$\frac{75 - \mu'}{10} = 0.15$$ Resolvemos la ecuación para despejar $\mu'$: $$75 - \mu' = 0.15 \cdot 10$$ $$75 - \mu' = 1.5$$ $$\mu' = 75 - 1.5 = 73.5$$ La nueva media de peso de la población tras la campaña es de $73.5$ kilos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu' = 73.5 \text{ kg}}$$