Probabilidad total y Teorema de Bayes con sobres y cartas

Primero, definimos los sucesos relativos a la elección del sobre según el lanzamiento del dado: - $A$: Elegir el sobre A (sacar impar: $\{1, 3, 5\}$ en el dado). - $B$: Elegir el sobre B (sacar $4$ o $6$ en el dado). - $C$: Elegir el sobre C (sacar un $2$ en el dado). Calculamos las probabilidades de elegir cada sobre basándonos en los casos favorables sobre los casos posibles del dado (6 caras): $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$P(C) = \frac{1}{6}$$ Comprobamos que la suma de probabilidades es $1$: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$.

Definimos los sucesos relativos a la carta extraída: - $CO$: Sacar una carta de copas. - $BA$: Sacar una carta de bastos. Extraemos los datos de composición de los sobres para hallar las probabilidades condicionadas: - Sobre A (2 copas, 3 bastos): $P(CO|A) = \frac{2}{5}$, $P(BA|A) = \frac{3}{5}$ - Sobre B (3 copas, 2 bastos): $P(CO|B) = \frac{3}{5}$, $P(BA|B) = \frac{2}{5}$ - Sobre C (4 copas, 1 basto): $P(CO|C) = \frac{4}{5}$, $P(BA|C) = \frac{1}{5}$ Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad:

**(a) [1.25 puntos] Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de bastos.** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las ramas que terminan en "Bastos" ($BA$): $$P(BA) = P(A) \cdot P(BA|A) + P(B) \cdot P(BA|B) + P(C) \cdot P(BA|C)$$ Sustituimos los valores calculados: $$P(BA) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} \right)$$ $$P(BA) = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} + \frac{1}{30}$$ Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ($m.c.m(10, 15, 30) = 30$): $$P(BA) = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} + \frac{1}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$$ 💡 **Tip:** Deja el resultado en forma de fracción irreducible si no se pide decimal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(BA) = \frac{7}{15} \approx 0.4667}$$

**(b) [1.25 puntos] Se extrae una carta y resulta ser copas ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído del sobre B?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(B|CO)$: $$P(B|CO) = \frac{P(B \cap CO)}{P(CO)} = \frac{P(B) \cdot P(CO|B)}{P(CO)}$$ Primero, calculamos $P(CO)$. Como los sucesos Copas y Bastos son contrarios: $$P(CO) = 1 - P(BA) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (rama del sobre B y copas): $$P(B \cap CO) = P(B) \cdot P(CO|B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$$ Finalmente, aplicamos Bayes: $$P(B|CO) = \frac{1/5}{8/15} = \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(CO)$ también se puede calcular por probabilidad total como hicimos en el apartado anterior, pero es más rápido usar el suceso contrario si ya tienes $P(BA)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|CO) = \frac{3}{8} = 0.375}$$