Intersección de planos, proyección ortogonal y simetría

**(a) (0.75 puntos) Calcula un vector director y un punto de la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$.** La recta $r$ viene definida por la intersección de dos planos. El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, será perpendicular a los vectores normales de ambos planos, por lo que podemos calcularlo mediante el producto vectorial de dichos vectores normales. Identificamos los vectores normales de los planos: - Para $\pi \equiv x + y + z = 3$, el vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. - Para $\pi' \equiv x + y = 3$, el vector normal es $\vec{n}_{\pi'} = (1, 1, 0)$. Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi \times \vec{n}_{\pi'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(1\cdot 0 - 1\cdot 1) - \vec{j}(1\cdot 0 - 1\cdot 1) + \vec{k}(1\cdot 1 - 1\cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(0) = (-1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos siempre es proporcional al producto vectorial de sus vectores normales. $$\boxed{\vec{v}_r = (-1, 1, 0)}$$

Para hallar un punto $Q$ de la recta $r$, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos. Como tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, asignamos un valor arbitrario a una de las variables. El sistema es: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}$$ Si restamos la segunda ecuación a la primera: $$(x + y + z) - (x + y) = 3 - 3 \implies z = 0$$ Ahora, en la segunda ecuación $x + y = 3$, podemos dar a $x$ el valor $0$: $$0 + y = 3 \implies y = 3$$ Por tanto, un punto $Q$ de la recta es: $$\boxed{Q = (0, 3, 0)}$$

**(b) (1 punto) Calcula el punto $P$ de $\pi$ tal que el segmento $AP$ es perpendicular al plano $\pi$.** El punto $P$ solicitado es la proyección ortogonal del punto $A(2, 1, 6)$ sobre el plano $\pi$. Para hallarlo, seguiremos estos pasos: 1. Construir una recta $s$ que pase por $A$ y sea perpendicular a $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección de la recta $s$ con el plano $\pi$. Como la recta $s$ es perpendicular a $\pi$, su vector director será el vector normal del plano: $\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. La ecuación paramétrica de la recta $s$ que pasa por $A(2, 1, 6)$ es: $$s: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 6 + \lambda \end{cases}$$

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + z = 3$: $$(2 + \lambda) + (1 + \lambda) + (6 + \lambda) = 3$$ $$3\lambda + 9 = 3$$ $$3\lambda = -6 \implies \lambda = -2$$ Ahora, sustituimos el valor de $\lambda = -2$ en las ecuaciones de la recta $s$ para obtener las coordenadas de $P$: $$x = 2 + (-2) = 0$$ $$y = 1 + (-2) = -1$$ $$z = 6 + (-2) = 4$$ 💡 **Tip:** El punto $P$ es el "pie de la perpendicular" desde $A$ al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = (0, -1, 4)}$$

**(c) (0.75 puntos) Calcula el punto $A'$ simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$.** El punto $P(0, -1, 4)$ calculado en el apartado anterior es el punto medio del segmento que une $A(2, 1, 6)$ con su simétrico $A'(x', y', z')$. Usamos la fórmula del punto medio: $$P = \frac{A + A'}{2} \implies (0, -1, 4) = \left( \frac{2 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{6 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $0 = \frac{2 + x'}{2} \implies 0 = 2 + x' \implies x' = -2$ 2. $-1 = \frac{1 + y'}{2} \implies -2 = 1 + y' \implies y' = -3$ 3. $4 = \frac{6 + z'}{2} \implies 8 = 6 + z' \implies z' = 2$ 💡 **Tip:** No memorices fórmulas complejas de simetría; recuerda siempre que el punto de proyección es el punto medio entre el original y el simétrico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A' = (-2, -3, 2)}$$