Posición relativa, planos paralelos y distancia entre rectas

**(a) (0.75 puntos) Indica la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero obtenemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$, que pasa por $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$: - Punto: $P_r = A = (1, 0, 1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = \vec{AB} = (2-1, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1)$ Para la recta $s$, dada en forma continua $s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z-0}{1}$: - Punto: $P_s = (2, 2, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ se obtiene restando las coordenadas de los puntos: $\vec{v} = B - A$.

Analizamos si los vectores directores son proporcionales: $$\frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1} \implies \vec{v}_r \text{ y } \vec{v}_s \text{ no son paralelos.}$$ Como no son paralelos, las rectas o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio. Para determinarlo, estudiamos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta: Calculamos $\vec{P_r P_s} = (2-1, 2-0, 0-1) = (1, 2, -1)$. Evaluamos el determinante de la matriz $M = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$|M| = [1\cdot(-1)\cdot(-1) + 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 1] - [1\cdot(-1)\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1\cdot 1]$$ $$|M| = [1 + 1 + 2] - [-1 + 2 - 1] = 4 - 0 = 4$$ Como $|M| \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes (rango 3). Por lo tanto, las rectas **se cruzan**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula un plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$.** Un plano $\pi$ que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ tendrá como vectores directores los vectores de ambas rectas: $\vec{v}_s$ y $\vec{v}_r$. El vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = (1)\mathbf{i} + (1)\mathbf{j} + (-1)\mathbf{k} - [1\mathbf{k} - 1\mathbf{i} + 1\mathbf{j}] = 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (2, 0, -2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_\pi = (1, 0, -1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar la dirección normal de un plano.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\pi = (1, 0, -1)$ y el punto $P_s(2, 2, 0)$ (ya que el plano contiene a $s$): $$1(x - 2) + 0(y - 2) - 1(z - 0) = 0$$ $$x - 2 - z = 0 \implies x - z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x - z - 2 = 0}$$

**(c) (1 punto) Calcula la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** Como el plano $\pi$ calculado en el apartado anterior es paralelo a $r$ y contiene a $s$, la distancia entre las rectas es igual a la distancia de cualquier punto de $r$ al plano $\pi$: $$d(r, s) = d(P_r, \pi)$$ Donde $P_r = (1, 0, 1)$ y $\pi \equiv x - z - 2 = 0$. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(P_r, \pi) = \frac{|1(1) + 0(0) - 1(1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$$ $$d(P_r, \pi) = \frac{|1 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando: $$\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{2} \text{ u}}$$