Integral indefinida con cambio de variable y aplicación de la Regla de Barrow

**(a) (1.75 puntos) Calcula una primitiva de $f(x)$, que pase por el punto $(-1, 0)$. (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t = 1 - x^2$)** Buscamos el conjunto de todas las primitivas de la función, lo cual se expresa mediante la integral indefinida: $$F(x) = \int x\sqrt{1-x^2} \, dx$$ Siguiendo la sugerencia del enunciado, realizamos el **cambio de variable**: $$t = 1 - x^2$$ Derivamos ambos miembros para obtener la relación entre los diferenciales: $$dt = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$$ 💡 **Tip:** Siempre que realices un cambio de variable, asegúrate de sustituir todas las apariciones de $x$ y de calcular el nuevo diferencial $dt$.

Sustituimos las expresiones en la integral original: $$\int \sqrt{1-x^2} \cdot (x \, dx) = \int \sqrt{t} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) dt$$ Sacamos la constante fuera de la integral y escribimos la raíz como potencia para facilitar la integración: $$-\frac{1}{2} \int t^{1/2} \, dt$$ Aplicamos la regla de integración de una potencia $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$: $$-\frac{1}{2} \left( \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right) + C = -\frac{1}{2} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C$$ Simplificamos la expresión: $$-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = -\frac{1}{3} t^{3/2} + C$$ 💡 **Tip:** No olvides sumar la constante de integración $C$ al resolver una integral indefinida.

Deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t = 1 - x^2$: $$F(x) = -\frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} + C = -\frac{1}{3} \sqrt{(1-x^2)^3} + C$$ Para hallar la primitiva que pasa por el punto $(-1, 0)$, imponemos la condición $F(-1) = 0$: $$F(-1) = -\frac{1}{3} \sqrt{(1 - (-1)^2)^3} + C = 0$$ $$-\frac{1}{3} \sqrt{(1 - 1)^3} + C = 0 \implies -\frac{1}{3} \cdot 0 + C = 0 \implies C = 0$$ Por tanto, la primitiva buscada es: ✅ **Resultado (primitiva):** $$\boxed{F(x) = -\frac{1}{3} \sqrt{(1-x^2)^3}}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula $\int_0^1 f(x) dx$** Utilizamos la primitiva $F(x)$ hallada en el apartado anterior y aplicamos la **Regla de Barrow**. $$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} \right]_0^1$$ Calculamos los valores en los límites de integración: 1. En el límite superior ($x=1$): $$F(1) = -\frac{1}{3} (1 - 1^2)^{3/2} = 0$$ 2. En el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = -\frac{1}{3} (1 - 0^2)^{3/2} = -\frac{1}{3} (1)^{3/2} = -\frac{1}{3}$$ Restamos ambos valores: $$\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado (valor de la integral):** $$\boxed{\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{3}}$$