Estudio completo y representación de una función racional

**(a) (1 punto) Calcula el dominio de $f$ y las asíntotas, en caso de que tenga.** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ Para buscar las **asíntotas verticales (AV)**, calculamos los límites laterales en los puntos excluidos del dominio: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \frac{1^2 + 3}{1 - 1} = \frac{4}{0} = \infty$$ Calculamos los límites laterales para conocer el comportamiento de la función: - $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \frac{4}{0^-} = -\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \frac{4}{0^+} = +\infty$ 💡 **Tip:** Si el límite de la función en un punto $x = a$ es infinito, entonces $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Dominio y AV):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}; \quad \text{AV: } x = 1}$$

Analizamos las **asíntotas horizontales (AH)** calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \pm \infty$$ Al ser infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Como el grado del numerador ($2$) es exactamente uno más que el del denominador ($1$), buscamos una **asíntota oblicua (AO)** de la forma $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x - 1} - 1x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3 - (x^2 - x)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x - 1} = 1$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener la AO realizando la división polinómica de $x^2 + 3$ entre $x - 1$. El cociente será la asíntota. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 1, \quad \text{AO: } y = x + 1}$$

**(b) (1 punto) Estudia la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad.** Para hallar los máximos y mínimos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$x^2 - 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \implies \begin{cases} x = 3 \\ x = -1 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x=1$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline \text{Crecim.} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - **Máximo relativo** en $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2 \implies \mathbf{(-1, -2)}$ - **Mínimo relativo** en $x = 3$: $f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 \implies \mathbf{(3, 6)}$

Para la concavidad y convexidad, calculamos la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1)^2 - (x^2 - 2x - 3) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{(2x - 2)(x - 1) - 2(x^2 - 2x - 3)}{(x - 1)^3}$$ $$f''(x) = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - 2x^2 + 4x + 6}{(x - 1)^3} = \frac{8}{(x - 1)^3}$$ Como $f''(x)$ nunca es $0$, no hay puntos de inflexión. El signo depende solo del denominador: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (\cap)} & \nexists & \text{Convexa (\cup)} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Extremos y Curvatura):** $$\boxed{\text{Máx: } (-1, -2), \; \text{Mín: } (3, 6), \; \text{Cóncava: } (-\infty, 1), \; \text{Convexa: } (1, +\infty)}$$

**(c) (0.5 puntos) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.** Resumen de elementos para la gráfica: 1. Asíntota vertical en $x = 1$. 2. Asíntota oblicua $y = x + 1$. 3. Máximo en $(-1, -2)$ y Mínimo en $(3, 6)$. 4. Corte con eje $Y$ ($x=0$): $f(0) = -3 \implies (0, -3)$. 5. No hay cortes con el eje $X$ ya que $x^2 + 3 = 0$ no tiene solución real. Podemos visualizar estos elementos en el siguiente gráfico interactivo: