Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(a) (1 punto) Discute el sistema según los valores de $a$.** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ a & -2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ a & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ a & -2 & 1 \end{vmatrix} = [(-1) \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot a + 0 \cdot (-1) \cdot (-2)] - [a \cdot 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot 2]$$ $$|A| = [-2 + 4a + 0] - [0 + 4 - 2] = 4a - 2 - 2 = 4a - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$4a - 4 = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la ampliada ($A^*$). Si $|A| \neq 0$, el rango es máximo.

Si **$a \neq 1$**: Como el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$), el rango de la matriz $A$ es $3$. Dado que la matriz ampliada $A^*$ es de dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por lo tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^o \text{ de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $a$ distinto de $1$.

Si **$a = 1$**: La matriz $A$ es $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$. Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$ estudiando un menor de orden $3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [(-1) \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1] - [1 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \cdot 0]$$ $$= [-4 + 0 + 1] - [-2 - 1 + 0] = -3 - (-3) = 0$$ *Probamos con otro menor de $A^*$ (columnas 2, 3 y 4):* $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [8 + 0 - 2] - [4 + 2 + 0] = 6 - 6 = 0$$ *Probamos con las columnas 1, 2 y 4:* $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = [-4 + 2 - 2] - [-2 + 2 - 4] = -4 - (-4) = 0$$ ⚠️ **Nota:** Al ser todas las columnas de $A$ proporcionales o combinaciones, debemos fijarnos bien. En este caso, si sumamos las dos primeras ecuaciones: $(-x+2y) + (-x+2y+2z) = -1 + 1 \implies -2x + 4y + 2z = 0$. Al compararla con la tercera ecuación (con $a=1$): $x - 2y + z = 2$, vemos que si multiplicamos por $-2$, obtenemos $-2x + 4y - 2z = -4$. Esto es incompatible con la anterior. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es un **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resumen:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1: \text{SCD} \\ a = 1: \text{SI} \end{cases}}$$

**(b) (0.75 puntos) Estudia si es posible encontrar un valor de $a$ para el cual la solución del sistema verifique que $x = 0$.** Si $x = 0$, el sistema original se convierte en: $$\begin{cases} 2y = -1 \implies y = -1/2 \\ 2y + 2z = 1 \\ -2y + z = 2 \end{cases}$$ Sustituimos $y = -1/2$ en la segunda ecuación: $$2(-1/2) + 2z = 1 \implies -1 + 2z = 1 \implies 2z = 2 \implies z = 1$$ Ahora comprobamos si estos valores $(x=0, y=-1/2, z=1)$ cumplen la tercera ecuación para algún valor de $a$: $$ax - 2y + z = 2 \implies a(0) - 2(-1/2) + 1 = 2$$ $$0 + 1 + 1 = 2 \implies 2 = 2$$ La igualdad se cumple independientemente del valor de $a$. Sin embargo, para que el sistema tenga solución, este debe ser compatible. De la discusión del apartado (a), sabemos que el sistema es compatible si y solo si $a \neq 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es posible para cualquier } a \neq 1. \text{ Para } a=1 \text{ no hay solución.}}$$

**(c) (0.75 puntos) Si $a = 0$, resuelve el sistema si es posible.** Si $a = 0$, estamos en el caso **SCD** (solución única). El sistema es: $$\begin{cases} -x + 2y = -1 \quad (1) \\ -x + 2y + 2z = 1 \quad (2) \\ -2y + z = 2 \quad (3) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (1) de la ecuación (2) para eliminar $x$ e $y$ directamente: $$(-x + 2y + 2z) - (-x + 2y) = 1 - (-1)$$ $$2z = 2 \implies \mathbf{z = 1}$$ Sustituimos $z = 1$ en la ecuación (3): $$-2y + 1 = 2 \implies -2y = 1 \implies \mathbf{y = -1/2}$$ Sustituimos $y = -1/2$ en la ecuación (1): $$-x + 2(-1/2) = -1 \implies -x - 1 = -1 \implies -x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba que la solución obtenida satisface todas las ecuaciones originales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, \, y = -1/2, \, z = 1}$$