Estudio de una matriz con parámetros: determinante, rango e inversa

**(a) (1 punto) Calcula el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$.** En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $P$ utilizando la regla de Sarrus: $$|P| = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{vmatrix}$$ $$|P| = [(-1) \cdot 1 \cdot a + 0 \cdot (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \cdot 2] - [2 \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \cdot (-1) + a \cdot 0 \cdot (-1)]$$ $$|P| = [-a + 0 + 2] - [-2 + 2 + 0]$$ $$|P| = -a + 2 - 0 = 2 - a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz $3 \times 3$ por Sarrus se calcula sumando el producto de las diagonales principales y restando el de las secundarias. $$\boxed{|P| = 2 - a}$$

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Analizamos los casos según el valor del determinante: **Caso 1: $2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$** Si $a \neq 2$, el determinante $|P| \neq 0$, por lo que las tres filas son linealmente independientes. $$\text{rango}(P) = 3$$ **Caso 2: $a = 2$** Si $a = 2$, el determinante $|P| = 0$, por lo que $\text{rango}(P) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero dentro de $P$: $$P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-1) = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 2, & \text{rango}(P) = 3 \\ \text{Si } a = 2, & \text{rango}(P) = 2 \end{cases}}$$

**(b) (1 punto) Para $a = 1$ ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlala.** Para $a = 1$, el determinante es $|P| = 2 - 1 = 1$. Como $|P| \neq 0$, **sí existe la matriz inversa $P^{-1}$**. La matriz para $a=1$ es $P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculamos los adjuntos $A_{ij}$: $A_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3$ $A_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(0 + 2) = -2$ $A_{13} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 + 1 = 1$ $A_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 + 2) = -1$ $A_{22} = + \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1$ $A_{23} = - \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$ $A_{31} = + \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$ $A_{32} = - \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ $A_{33} = + \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & -1 \end{pmatrix}$. La traspuesta es $\text{Adj}(P)^T = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Como $P^{-1} = \frac{1}{|P|} \text{Adj}(P)^T$ y $|P|=1$: ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

**(c) (0.5 puntos) Calcula, en caso de que exista, los valores de $a$ tal que $\text{det}(P) = \text{det}(P^{-1})$.** Utilizamos las propiedades de los determinantes. Sabemos que el determinante de la inversa es el inverso del determinante: $$\text{det}(P^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(P)}$$ Planteamos la ecuación según el enunciado: $$\text{det}(P) = \frac{1}{\text{det}(P)} \implies (\text{det}(P))^2 = 1 \implies \text{det}(P) = \pm 1$$ Sustituimos el valor del determinante hallado en el apartado (a), $|P| = 2 - a$: 1. **Caso $|P| = 1$:** $$2 - a = 1 \implies a = 1$$ 2. **Caso $|P| = -1$:** $$2 - a = -1 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $P^{-1}$, el determinante no puede ser 0. En ambos casos ($a=1$ y $a=3$), el determinante es distinto de cero, por lo que los valores son válidos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad a = 3}$$