Distribución normal: Altura de la población

**(a) (0.75 puntos) Calcula la probabilidad de que, tomado un adulto al azar mida más de 1.85m.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la altura de un adulto en metros. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 1.75$ y desviación típica $\sigma = 0.65$: $$X \sim N(1.75, \, 0.65)$$ Queremos calcular la probabilidad de que un adulto mida más de $1.85\text{m}$, es decir, $P(X \gt 1.85)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X \gt 1.85) = P\left(Z \gt \frac{1.85 - 1.75}{0.65}\right) = P\left(Z \gt \frac{0.10}{0.65}\right) \approx P(Z \gt 0.1538)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite comparar cualquier distribución normal con la tabla de la normal estándar $N(0,1)$.

Como las tablas y los valores proporcionados suelen darnos la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 0.1538) = 1 - P(Z \le 0.1538)$$ Consultamos los valores dados en el enunciado: $F(0.1538) = P(Z \le 0.1538) = 0.5596$. Por tanto: $$P(X \gt 1.85) = 1 - 0.5596 = 0.4404$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X \gt 1.85) = 0.4404}$$

**(b) (0.75 puntos) Si se toma una muestra de 10000 personas ¿Cuántas personas medirán más de 1.85m?** Para calcular el número de personas esperado, multiplicamos el tamaño de la muestra ($n = 10000$) por la probabilidad obtenida en el apartado anterior. $$N = n \cdot P(X \gt 1.85)$$ $$N = 10000 \cdot 0.4404 = 4404$$ 💡 **Tip:** En una distribución de este tipo, el número esperado de individuos que cumplen una condición es el producto del total por su probabilidad individual. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{4404 \text{ personas}}$$

**(c) (1 punto) Se observa que, de las 10000 personas de la muestra, 6500 miden menos de 1.90m, suponiendo que se mantiene la media ¿cuál sería la desviación típica?** Primero determinamos la probabilidad experimental observada: $$P(X \lt 1.90) = \frac{6500}{10000} = 0.65$$ Sabemos que la media se mantiene en $\mu = 1.75$, pero la desviación típica $\sigma$ es ahora desconocida. Tipificamos el valor $X = 1.90$: $$P\left(Z \lt \frac{1.90 - 1.75}{\sigma}\right) = 0.65 \implies P\left(Z \lt \frac{0.15}{\sigma}\right) = 0.65$$ Buscamos en los valores proporcionados qué valor de $z$ corresponde a una probabilidad acumulada de $0.65$. Según el enunciado: $$F(0.385) = P(Z \le 0.385) = 0.65$$ Por tanto, igualamos el valor tipificado con el valor de la tabla: $$\frac{0.15}{\sigma} = 0.385$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{0.15}{0.385} \approx 0.3896$$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\sigma \approx 0.3896\text{m}}$$