Probabilidad en una oficina municipal

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos según la información proporcionada: - $M$: La persona es mujer. - $H$: La persona es hombre. - $J$: La persona es menor de 30 años (joven). - $\bar{J}$: La persona tiene 30 años o más (no menor de 30). Datos del enunciado: - $P(M) = 0.70$ - $P(H) = 1 - P(M) = 0.30$ (ya que solo se distinguen hombres y mujeres) - $P(J|M) = 0.30$ (probabilidad de ser joven si es mujer) - $P(J|H) = 0.40$ (probabilidad de ser joven si es hombre) Podemos representar esta información en un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre deben sumar 1.

**(a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 30 años.** Para calcular la probabilidad de que una persona sea menor de 30 años ($P(J)$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir de dos formas: que sea mujer y menor de 30, o que sea hombre y menor de 30. $$P(J) = P(M) \cdot P(J|M) + P(H) \cdot P(J|H)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(J) = 0.70 \cdot 0.30 + 0.30 \cdot 0.40$$ $$P(J) = 0.21 + 0.12 = 0.33$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(J) = 0.33}$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se aplica cuando queremos calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que llevan a él.

**(b) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 30 años?** Se nos pide la probabilidad de la intersección entre ser hombre y tener 30 años o más ($P(H \cap \bar{J})$). Sabemos que: $$P(\bar{J}|H) = 1 - P(J|H) = 1 - 0.40 = 0.60$$ La probabilidad de la intersección es: $$P(H \cap \bar{J}) = P(H) \cdot P(\bar{J}|H)$$ $$P(H \cap \bar{J}) = 0.30 \cdot 0.60 = 0.18$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H \cap \bar{J}) = 0.18}$$

**(c) (1.25 puntos) Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 30 años ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: la probabilidad de ser hombre sabiendo que la persona no es menor de 30 años, es decir, $P(H|\bar{J})$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada (o el **Teorema de Bayes**): $$P(H|\bar{J}) = \frac{P(H \cap \bar{J})}{P(\bar{J})}$$ Primero, calculamos $P(\bar{J})$ (la probabilidad de que la persona no sea menor de 30). Como es el suceso contrario a $J$, calculado en el apartado (a): $$P(\bar{J}) = 1 - P(J) = 1 - 0.33 = 0.67$$ Ahora, sustituimos en la fórmula con el valor de la intersección hallado en el apartado (b): $$P(H|\bar{J}) = \frac{0.18}{0.67}$$ $$P(H|\bar{J}) \approx 0.2687$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|\bar{J}) = \frac{18}{67} \approx 0.2687}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada, calculando la causa (ser hombre) dado el efecto (ser mayor de 30).