Geometría en el espacio: Planos, paralelogramos y rectas

**(a) (0.5 puntos) Calcula ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A, B$ y $C$.** Para hallar la ecuación de un plano que contiene tres puntos, primero obtenemos dos vectores directores que pertenezcan al plano a partir de dichos puntos. Dados $A(1, 0, 1)$, $B(1, 6, 1)$ y $C(-2, -1, 5)$: $$\vec{AB} = B - A = (1-1, 6-0, 1-1) = (0, 6, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-2-1, -1-0, 5-1) = (-3, -1, 4)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos, o bien por un punto y un vector normal.

El vector normal $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -3 & -1 & 4 \\ \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{n_\pi} = [(\vec{i} \cdot 6 \cdot 4) + (0 \cdot -1 \cdot \vec{k}) + (-3 \cdot \vec{j} \cdot 0)] - [(\vec{k} \cdot 6 \cdot -3) + (0 \cdot \vec{i} \cdot 0) + (4 \cdot \vec{j} \cdot 0)]$$ $$\vec{n_\pi} = [24\vec{i} + 0\vec{k} + 0\vec{j}] - [-18\vec{k} + 0\vec{i} + 0\vec{j}] = 24\vec{i} + 18\vec{k}$$ El vector resultante es $(24, 0, 18)$. Podemos simplificarlo dividiendo entre $6$ para obtener un vector normal más manejable: $$\vec{n} = (4, 0, 3)$$ $$\boxed{\vec{n} = (4, 0, 3)}$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos el vector $\vec{n} = (4, 0, 3)$: $$4x + 0y + 3z + D = 0 \implies 4x + 3z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(1, 0, 1)$: $$4(1) + 3(1) + D = 0 \implies 4 + 3 + D = 0 \implies D = -7$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: 4x + 3z - 7 = 0}$$

**(b) (1.25 puntos) Calcula las coordenadas del punto $D$ para que el polígono $ABCD$ sea un paralelogramo y el área de $ABCD$.** En un paralelogramo $ABCD$, los vectores formados por los lados opuestos deben ser iguales. Por tanto, se debe cumplir que $\vec{AB} = \vec{DC}$. Sea $D(x, y, z)$. Tenemos: $$\vec{AB} = (0, 6, 0)$$ $$\vec{DC} = C - D = (-2 - x, -1 - y, 5 - z)$$ Igualamos las componentes: 1. $-2 - x = 0 \implies x = -2$ 2. $-1 - y = 6 \implies y = -7$ 3. $5 - z = 0 \implies z = 5$ 💡 **Tip:** También se puede resolver usando que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, es decir, $M_{AC} = M_{BD}$. ✅ **Resultado (Punto D):** $$\boxed{D(-2, -7, 5)}$$

El área de un paralelogramo definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ (donde $\vec{AC}$ es una diagonal) es igual al módulo del producto vectorial de los vectores que forman dos de sus lados adyacentes, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$. Calculamos $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (-2 - 1, -7 - 0, 5 - 1) = (-3, -7, 4)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AD}$: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -3 & -7 & 4 \\ \end{vmatrix} = (24, 0, 18)$$ El área es el módulo de este vector: $$\text{Área} = |(24, 0, 18)| = \sqrt{24^2 + 0^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$$ 💡 **Tip:** El área del paralelogramo es el doble del área del triángulo $ABC$. Como ya calculamos $\vec{AB} \times \vec{AC}$ en el apartado anterior y nos dio $(24, 0, 18)$, el resultado es el mismo. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 30 \text{ u}^2}$$

**(c) (0.75 puntos) Halla ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $E$.** Si una recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Del apartado (a), sabemos que $\vec{n_\pi} = (4, 0, 3)$. Por tanto, tomamos: $$\vec{v_r} = (4, 0, 3)$$ La recta pasa por el punto $E(-1, 1, 1)$. Escribimos su ecuación en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = -1 + 4\lambda \\ y = 1 \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x+1}{4} = \frac{z-1}{3}, \quad y=1$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r: (x, y, z) = (-1, 1, 1) + \lambda(4, 0, 3)}$$