Vectores directores y planos en el espacio

**(a) (0.5 puntos) Calcula $\vec{v}_r$ un vector director de $r$.** La recta $r$ viene dada en su forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 1\alpha \\ y = 1 + 0\alpha \\ z = 0 - 1\alpha \end{cases}$$ En la forma paramétrica, las componentes del vector director son los coeficientes que multiplican al parámetro $\alpha$. Por tanto, el vector director $\vec{v}_r$ es: $$\vec{v}_r = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta tiene ecuaciones paramétricas $x = x_0 + a\lambda$, $y = y_0 + b\lambda$, $z = z_0 + c\lambda$, su vector director es $\vec{v} = (a, b, c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 0, -1)}$$

**(b) (1 punto) Calcula un vector $\vec{u}$ director de $s$ tal que $\vec{u} \times \vec{v}_r$ es proporcional a $\vec{v}$.** Sea $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ el vector director de la recta $s$. El enunciado nos da dos condiciones: 1. **Perpendicularidad:** Las rectas $r$ y $s$ son perpendiculares, por lo que sus vectores directores deben ser ortogonales (su producto escalar es cero): $$\vec{u} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (u_1, u_2, u_3) \cdot (1, 0, -1) = 0 \implies u_1 - u_3 = 0 \implies u_1 = u_3$$ 2. **Proporcionalidad del producto vectorial:** $\vec{u} \times \vec{v}_r$ debe ser proporcional a $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Como $u_1 = u_3$, podemos redefinir $\vec{u}$ como $(u_1, u_2, u_1)$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}_r$ utilizando un determinante: $$\vec{u} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{u} \times \vec{v}_r = \vec{i}(u_2 \cdot (-1)) - \vec{j}(u_1 \cdot (-1) - u_1 \cdot 1) + \vec{k}(u_1 \cdot 0 - u_2 \cdot 1)$$ $$\vec{u} \times \vec{v}_r = -u_2 \vec{i} + 2u_1 \vec{j} - u_2 \vec{k} = (-u_2, 2u_1, -u_2)$$ Queremos que este vector sea proporcional a $(1, 1, 1)$, es decir: $$(-u_2, 2u_1, -u_2) = k(1, 1, 1) \implies \begin{cases} -u_2 = k \\ 2u_1 = k \end{cases} \implies 2u_1 = -u_2$$ Si tomamos, por ejemplo, $u_1 = 1$, entonces $u_2 = -2$ y $u_3 = u_1 = 1$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ es un vector perpendicular a ambos. Si es proporcional a otro vector $\vec{c}$, significa que $\vec{a} \times \vec{b}$ y $\vec{c}$ tienen la misma dirección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{u} = (1, -2, 1)}$$

**(c) (1 punto) Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s'$, siendo $s' \equiv x - 1 = \frac{y - 1}{-2} = z$.** Para que un plano contenga a dos rectas, estas deben ser paralelas o cortarse. Analizamos sus elementos: **Recta $r$:** Punto: $P_r = (1, 1, 0)$ Vector director: $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$ **Recta $s'$:** La ecuación continua es $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 0}{1}$. Punto: $P_{s'} = (1, 1, 0)$ Vector director: $\vec{v}_{s'} = (1, -2, 1)$ Observamos que ambas rectas comparten el punto $(1, 1, 0)$, por lo que se cortan en dicho punto. El plano que las contiene estará definido por ese punto de intersección y los dos vectores directores.

La ecuación del plano $\pi$ se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$, el punto $P(1, 1, 0)$ y los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_{s'}$: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x - 1)(0 - 2) - (y - 1)(1 - (-1)) + z(-2 - 0) = 0$$ $$-2(x - 1) - 2(y - 1) - 2z = 0$$ $$-2x + 2 - 2y + 2 - 2z = 0$$ $$-2x - 2y - 2z + 4 = 0$$ Dividiendo toda la ecuación entre $-2$ para simplificar: $$x + y + z - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Para hallar el plano que contiene a dos rectas que se cortan, usamos como vectores directores del plano los de las rectas y como punto el punto de corte. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y + z - 2 = 0}$$